三角形两边之和为10,夹角为π/3,求此三角形周长最小值和面积最大值.

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2011-02-07

0 0

设a+b=10,角C=π/3， ab≤(1/4)(a+b)^2=25 c^2=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab≥100-75=25 c≥5,a+b+c≥15, 三角形ABC的周长最小值15 面积S=(1/2)absin(π/3)≤(25/4)√3 三角形ABC面积最大值(25/4)√3

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l***

2011-02-07

51 0

    解：设已知边a,b,未知边c a+b=10是定值,∵基本不等式a+b≥2√ab(a>0,b>0) ∴ab≤25 ∵由余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(π/3)=a²+b²-ab 得c²=(a+b)²-3ab a+b=10,ab≤25代入知道：c的最小值=5 ∴a+b+c=10+5=15。
     即：三角形周长最小值是15。又∵正弦定理S=0。5absin(π/3), 把：ab≤25代入∴S≤25√3/4 即：三角形面积的最大值是25√3/4 。
   。

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柳***

2011-02-07

53 0

设∠A=π/3,AB=x,AC=10-x, 则依余弦定理得 a^2=x^2+(10-x)^2-2x(10-x)cos(π/3) →a^2=3(x-5)^2+25 →a最小值为5。 ∴x=5时,L=10+5=15为最小。
而面积 S=1/2*(10-x)xsin(π/3) =-(根3)/4*(x-5)^2+(25根3)/4。显然,当x=5时,面积最大值为 (25根3)/4。

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