求周长为1+√2的直角三角形面积的最大值
设斜边长为c,两直角边分别为a=c*cosA,b-c*sinA,依题意:
c(1+cosA+sinA)=1+√2(*)
直角三角形面积S=(1/2)ab=(1/2)c*cosA*c*sinA=(1/4)C^2sin2A
当2A=90°,即A=45°时,有最大值(1/4)c^2
此时(*)化为c(1+√2)=1+√2,∴c=1,为等腰直角三角形,
∴周长为1+√2的直角三角形面积的最大值为1/4
。
解:设直角三角形的两直角边为a,b,根据勾股定理和题意: a+b+√(a^2+b^2)=1+√2, 显然a=b时,直角三角形的面积最大。 这时,a=b=√2/2, 直角三角形面积=ab/2=1/4。
设两直角边长为a,b,由题意,1+√2=a+b+√(a^2+b^2)≥2√ab+√(2ab),解得√ab≤√2/2,所以直角三角形面积的最大值为1/4.
假设直角三角形得两个直角边分别为a,b。
则:
a+b+√a^2+b^2=1+√2 (1)
且:S=a*b/2 (2)
由重要不等式a^2+b^2>=2ab得到:
(1)式中,a+b>=2√ab,√a^2+b^2>=√2ab
则,由(1)得到:
1+√2=a+b+√a^2+b^2>=2√ab+√2ab=(2+√2)√ab
当且仅当a=b时候取等号
所以,√ab<=(1+√2)/(2+√2)=1/√2
则:ab<=1/2
所以,Samx=1/4
此时,直角三角形为等腰直角三角形,其中a=b=√2/2,c=1。