周长为根号二+1的直角三角形面积的最大值为多少?
设三角形的三条边长是a、b、c。其中c=√(a^2+b^2)。所以sinA=a/c,sinB=cosA=b/c
--->a=csinA,b+ccosA
已知a+b+c=1+√2
--->c(1+sinA+cosA)=1+√2
--->c=(1+√2)/(1+sinA+cosA)
S=ab/2=(c^2/2)sinAcosA
=[(1+√2)]^2*sinAcosA/(1+sinA+cosA)^2
令sinA+cosA=t--->1+2sinAcosA=t^2--->sinAcosA=(t^2-1)/2。
因此
sinAcosA/(1+sinA+cosA)^2=[(t^2-1)/2]/(1+t)^2
=(t-1)/[2(t+1)]=1/2-1/(t+1)
因为t=sinA+cosA(A-1/20<1/2-1/(t+1)=<(3-2√2)/2
所以S有最大值(1+√2)^2*(3-2√2)/2=(3+2√2)(3-2√2)/2=1/2。
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