求最小值题己知ai>=0,i=1,2,...n,n∈N,且∑ai=1.求
f=∑[1/(1-a1+∑ai)]的最小值.
己知ai>=0,i=1,2,。。。n,n∈N,且∑ai=1。求
f=a1/(2-a1)+a2/(2-a2)+。。。+an/(2-an)的最小值。
本题的解法有许多，下面再给三种解法。
解法一（不等式方法1)
ai/(2-ai)+[(n/(2n-1)]^2*ai(2-ai)>=2[n/(2n-1)]ai,
即 ai/(2-ai)>=2n(n-1)/(2n-1)^2*ai+[(n/(2n-1)]^2*ai^2,(i=1,2,…,n)
n个不等式叠加，并利用已知不等式：∑ai^2>=(1/n)(∑ai)^2,得
f=a1/(2-a1)+a2/(2-a2)+。 。。+an/(2-an)
>=...全部
己知ai>=0,i=1,2,。。。n,n∈N,且∑ai=1。求
f=a1/(2-a1)+a2/(2-a2)+。。。+an/(2-an)的最小值。
本题的解法有许多，下面再给三种解法。
解法一（不等式方法1)
ai/(2-ai)+[(n/(2n-1)]^2*ai(2-ai)>=2[n/(2n-1)]ai,
即 ai/(2-ai)>=2n(n-1)/(2n-1)^2*ai+[(n/(2n-1)]^2*ai^2,(i=1,2,…,n)
n个不等式叠加，并利用已知不等式：∑ai^2>=(1/n)(∑ai)^2,得
f=a1/(2-a1)+a2/(2-a2)+。
。。+an/(2-an)
>=2n(n-1)/(2n-1)^2*∑ai+[(n/(2n-1)]^2*∑ai^2
>=2n(n-1)/(2n-1)^2*∑ai+[(n/(2n-1)]^2*(1/n)(∑ai)^2
=2n(n-1)/(2n-1)^2+n/(2n-1)^2
=n/(2n-1)。
当a1=a2=…=an=1/n时,f=n/(2n-1)。
所以f的最小值是n/(2n-1)。
解法二 （不等式方法2)由平均值不等式得
f=a1/(2-a1)+a2/(2-a2)+。
。。+an/(2-an)
=-n+2[1/(2-a1)+1/(2-a2)+。。。+1/(2-an)]
>=-n+2n/[(2-a1)(2-a2)…(2-an)]^(1/n)
>=-n+2n/{[(2-a1)+(2-a2)+…(2-an)]/n}
=-n+2n^2/(2n-1)
=n/(2n-1)。
当a1=a2=…=an=1/n时,f=n/(2n-1)。
所以f的最小值是n/(2n-1)。
解法三 (比较法)由对称性，不妨设a1>=a2>=…>=an，则a1-1/n>=0,a1+a2-2/n>=0,a1+a2+a3-3/n>=0,……,a1+a2+a3+…+a(n-1)-(n-1)/n>=0,
于是 f-n/(2n-1)=[a1/(2-a1)-1/(2n-1)]+[a2/(2-a2)-1/(2n-1)]+[a3/(2-a3)-1/(2n-1)]+。
。。+[an/(2-an)-1/(2n-1)]
=[2n/(2n-1)][(a1-1/n)/(2-a1)+(a2-1/n)/(2-a2)+(a3-1/n)/(2-a3)+…+(an-1/n)/(2-an)]
>=[2n/(2n-1)][(a1-1/n)/(2-a2)+(a2-1/n)/(2-a2)+(a3-1/n)/(2-a3)+…+(an-1/n)/(2-an)]
=[2n/(2n-1)][(a1+a2-2/n)/(2-a2)+(a3-1/n)/(2-a3)+…+(an-1/n)/(2-an)]
>=[2n/(2n-1)][(a1+a2-2/n)/(2-a3)+(a3-1/n)/(2-a3)+…+(an-1/n)/(2-an)]
=[2n/(2n-1)][(a1+a2+a3-3/n)/(2-a3)+(a4-1/n)/(2-a4)+…+(an-1/n)/(2-an)]
>==[2n/(2n-1)][(a1+a2+a3-3/n)/(2-a4)+(a4-1/n)/(2-a4)+…+(an-1/n)/(2-an)]
>=…
>=[2n/(2n-1)][(a1+a2+a3+…+a(n-1)-(n-1)/n]/(2-a(n-1))+(an-1/n)/(2-an)]
>=[2n/(2n-1)][(a1+a2+a3+…+a(n-1)-(n-1)/n]/(2-an)+(an-1/n)/(2-an)]
=[2n/(2n-1)][(a1+a2+a3+…+a(n-1)+an-1]/(2-an)
=0,
所以，f>=n/(2n-1)。
当a1=a2=…=an=1/n时,f=n/(2n-1)。
因此，f的最小值是n/(2n-1)。
注：解法三虽然看起来较长，但它只用到了不等式的性质，不应用现成的不等式的结论，应当是最浅显的解法。
收起
