求最小值
已知x、y属于(-2,2),且xy=-1.求函数u=4/(4-x^2)+9/(9-y^2)最小值.
全部回答
解法一:
已知xy=-1,故
u=(-4xy)/(-4xy-x^2)+(-9xy)/(-9xy-y^2)
=1+[35xy/(9x^2+4y^2+37xy)]
=1-[35/(9x^2+4y^2-37)]
>=1-[35/(2根(9x^2*4y^2)-37]
=1-[35/(12-37)]
=12/5。
上式取等号时有 {9x^2=4y^2,xy=-1} --->x=士(根6)/3。 故x=士(根6)/3时,u|min=12/5。 解法二(利用Cauchy不等式): xy=-1 --->y^2=1/x^2,故 u=4/(4-x^2)+9/(9-y^2) =1/[1-(x^2/4)]+1/[1-(y^2/9)] >=(1+1)^2/[2-(x^2/4+y^2/9)] >=4/[2-2根(x^2/4*y^2/9)] =12/5 上式取等号时,有 {x^2/4=y^2/9,xy=-1} --->x=土(根6)/3。
所以,x=士(根6)/3时,u|min=12/5。
上式取等号时有 {9x^2=4y^2,xy=-1} --->x=士(根6)/3。 故x=士(根6)/3时,u|min=12/5。 解法二(利用Cauchy不等式): xy=-1 --->y^2=1/x^2,故 u=4/(4-x^2)+9/(9-y^2) =1/[1-(x^2/4)]+1/[1-(y^2/9)] >=(1+1)^2/[2-(x^2/4+y^2/9)] >=4/[2-2根(x^2/4*y^2/9)] =12/5 上式取等号时,有 {x^2/4=y^2/9,xy=-1} --->x=土(根6)/3。
所以,x=士(根6)/3时,u|min=12/5。
u=4/(4-x^2)+9/(9-y^2),xy=-1,x、y属于(-2,2)
记a=x/2,b=y/3
则u=1/(1-a^2)+1/(1-b^2),ab=-1/6,a属于(-1,-1/4)∪(1/4,1)
将b=-1/(6a)代入并整理得：u=(-36a^4+72a^2-1)/(-36a^4+37a^2-1)=1-35a^2/(36a^4-37a^2+1) 其中a属于(-1,-1/4)∪(1/4,1)
由于a≠0，故可以除下去,又a^2属于(1/16,1)
则u=1-35/[36a^2+1/(a^2)-37]
考虑36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上的取值情况，由耐克函数性质知36a^2+1/(a^2)-37≥-25，此时a^2=1/6属于(1/16,1)满足条件，即36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上的最小值是-25，当a^2→1/16+时，36a^2+1/(a^2)-37→18。
25-37<0； 而当a^2→1-时，36a^2+1/(a^2)-37→0-<0 于是36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上恒<0 我们把u重新写成 u=1+35/[37-(36a^2+1/(a^2))]这样就保证了35/[37-(36a^2+1/(a^2))]恒正 于是u≥1+35/25=12/5,当且仅当a=±1/√6时等号成立，也即x=√6/3,y=-√6/2或者x=-√6/3,y=√6/2时成立。
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25-37<0； 而当a^2→1-时，36a^2+1/(a^2)-37→0-<0 于是36a^2+1/(a^2)-37在a^2属于(1/16,1)上恒<0 我们把u重新写成 u=1+35/[37-(36a^2+1/(a^2))]这样就保证了35/[37-(36a^2+1/(a^2))]恒正 于是u≥1+35/25=12/5,当且仅当a=±1/√6时等号成立，也即x=√6/3,y=-√6/2或者x=-√6/3,y=√6/2时成立。
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