证明整数勾股形中
证明:
1勾、股中必有3的倍数
任何整数都是下列3种形式之一：3m+1，3m+2,3m,他们的平方分别是以下的形式3n+1,3n+1,3n,因此，形式为3n+2的数不能成为平方数。
如果a,b都不是3的倍数，则有以下四种情况
a=3m+1 ,b=3n+1,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
a=3m+1,b=3n+2,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
a=3m+2,b=3n+1,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
a=3m+2,b=3n+2,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
所有这些情况都不能是勾股定理成立，故勾、股中必有3的倍数
2勾、股中必有4的倍数...全部
证明:
1勾、股中必有3的倍数
任何整数都是下列3种形式之一：3m+1，3m+2,3m,他们的平方分别是以下的形式3n+1,3n+1,3n,因此，形式为3n+2的数不能成为平方数。
如果a,b都不是3的倍数，则有以下四种情况
a=3m+1 ,b=3n+1,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
a=3m+1,b=3n+2,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
a=3m+2,b=3n+1,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
a=3m+2,b=3n+2,则a^2+b^2=3r+2不是平方数，无效
所有这些情况都不能是勾股定理成立，故勾、股中必有3的倍数
2勾、股中必有4的倍数
任何整数都是下列4种形式之一：4m+1，4m+2,4m+3，4m,他们的平方分别是以下的形式4n+1,4n,4n+1,4n,因此，形式为4n+2和4n+3的数不能成为平方数。
先说明勾a，股b至少有一个偶数，既不能都是奇数。所有奇数都是下列两种形式之1：4m+1,4m+3,它们任意两个的平方和都是4n+2的形式，不能成为平方数。因此a,b中至少有一个偶数。
如果a,b都是偶数，则弦c必为偶数，在a^2+b^2=c^2中约去2得m^2+n^2=r^2,此时m,n中必有一个偶数，从而a,b中必有4的倍数。
接下来假设a,b为一个奇数一个偶数，不妨设a=2m,b=2n+1,则c必为奇数，设为c=2r+1。则由a^2=c^2-b^2得
4m^2=(c+b)(c-b)=4(r+n+1)(r-n),即
m^2=(r+n+1)(r-n)=(r-n+1+2n)(r-n)
=(r-n+1)(r-n)+2n(r-n)
上式右边必为偶数，故m为偶数，a=2m必为4的倍数。
3 勾、股、弦中必有一个是5的倍数
任何整数都是下列5种形式只一：5m+1，5m+2,5m+3,5m+4,5m,他们的平方分别是以下的形式5n+1,5n+4,5n+4,5n+1,5n,因此，形式为5n+2或5n+3的数不能成为平方数。
将所有情况列表如下：
a b a^2+b^2 结论
5m 任意 a是5的倍数
5m+1 5n+1 5r+2 5r+2不是平方数，无效
5m+1 5m+2 5r c是5的倍数
5m+1 5m+3 5r c是5的倍数
5m+1 5m+4 5r+2 5r+2不是平方数，无效
5m+2 5m+2 5r+3 5r+3不是平方数，无效
5r+2 5r+3 5r+3 5r+3不是平方数，无效
5r+2 5r+4 5r c是5的倍数
5r+3 5r+3 5r+3 5r+3不是平方数，无效
5r+3 5r+4 5r c是5的倍数
5r+4 5r+4 5r+2 5r+2不是平方数，无效
将上表中a与b的位置互换一下，就得到全部可能。
我们看到，在所有使勾股定理成立的情况下勾、股、弦中必有一个是5的倍数。收起
