这个无限个无穷小的乘积是无穷小的证明哪里
定义函数列如下:
1。fn(x)的定义域为:[1,+∞)。
2。f1(x)=1, x∈[1,2)
f1(x)=1/x, x∈[2,+∞)
3。n>1,
fn(x)=1, x∈[1,n)
fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1)
fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞)
4。 设F(x)=∏{1≤n}fn(x),
ⅰ。x∈[1,2)
==>fn(x)=1
==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1
ⅱ。x∈[k,k+1),k>1
fn(x)=1/x,n≤k-1
fk(x)=x^(k-1),
fn(x)=1,k+1≤n
F(x)=∏{1≤n}fn(x)=
=f1(x)*。 。*f...全部
定义函数列如下:
1。fn(x)的定义域为:[1,+∞)。
2。f1(x)=1, x∈[1,2)
f1(x)=1/x, x∈[2,+∞)
3。n>1,
fn(x)=1, x∈[1,n)
fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1)
fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞)
4。
设F(x)=∏{1≤n}fn(x),
ⅰ。x∈[1,2)
==>fn(x)=1
==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1
ⅱ。x∈[k,k+1),k>1
fn(x)=1/x,n≤k-1
fk(x)=x^(k-1),
fn(x)=1,k+1≤n
F(x)=∏{1≤n}fn(x)=
=f1(x)*。
。*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1。。。=
=(1/x)*。。(1/x)*x^(k-1)*1。。*1。。。=
=1
所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小。
但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小。
(显然Lim{x→+∞}fn(x)=0)
所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小。
此为zhh2360的答案
我证明一下在一致连续的前提下，无限个无穷小相乘还是无穷小。
当然这个知识点并不在一般高校高等数学的教学计划内。
无穷小定义limα(x)=0，x可以趋于定点，也可以趋于无穷．
下面假定x→+∞，,x趋于定点的证明类似．
对任意给定的00,当x>X时,
有|α(x)|αi(x)=0（i=1,2,…），β(x)=limβn(x)
只有当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积才是是无穷小。
由limαi(x)=0知
对任意给定的00,当x>X时,有|αi(x)|α1(x)α2(x)…αn(x)|≤limε^n=0
故limβ(x)=0
以上即证明了当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积仍是无穷小．。
收起
