数学同余
1.30对夫妻围者圆桌坐下,证明:至少有两对妻子到各自丈夫的距离相等.2.设直角三角形三边为a,b,c,证明:a,b,c之积为60的倍数.
全部回答
1。设60个位置分别编号为1,2,3。。。,60
设每个丈夫的座号为a1,a2,。。。,a30
每个妻子的座号为b1,b2,。。。,b30
设ai-bi≡ci(mod 60)（ci显然不为0，设-29≤ci≤30）
若有某个ci≡cj(mod 60)或ci+cj≡0(mod 60)
则命题成立
若对任意i,j都没有ci≡±cj(mod 60)
则|c1|,|c2|,。
。。|c29|,|c30|分别为1,2,。。。,30的一个排列 |c1|+|c2|+。。。+|c30|=1+2+。。。+30为一奇数 所以c1+c2+。。。+c30也为奇数 同时c1+c2+。
。。+c30=(a1-b1)+(a2-b2)+。。。+(a30-a30) =(a1+a2+。 。。+a30+b1+b2+。。。+b30)-2(b1+b2+。。。+b30) =(1+2+。
。。+60)-2(b1+b2+。。。+b30)为偶数 矛盾，所以命题成立 2。
（首先应加一个条件，a,b,c均为整数) 不妨设c为斜边 a^2+b^2=c^2 因为x^2≡0,1,4(mod 8) 若a^2,b^2,c^2≡1,4(mod 8),则等式显然不成立 所以a^2,b^2,c^2中一定有一个数被8整除 则其中一定有一个数被4整除，则4|abc x^2≡0,1(mod3) 显然不可能a^2,b^2,c^2均mod3余1 所以一定有一个数mod3余0，即这个数被3整除,则3|abc x^2≡0,±1(mod5) 若a^2,b^2,c^2≡±1(mod 8）则无法使等式成立 所以一定有一个数被5整除，即5|abc 因为3，4，5两两互质 所以3*4*5=60|abc。
。。|c29|,|c30|分别为1,2,。。。,30的一个排列 |c1|+|c2|+。。。+|c30|=1+2+。。。+30为一奇数 所以c1+c2+。。。+c30也为奇数 同时c1+c2+。
。。+c30=(a1-b1)+(a2-b2)+。。。+(a30-a30) =(a1+a2+。 。。+a30+b1+b2+。。。+b30)-2(b1+b2+。。。+b30) =(1+2+。
。。+60)-2(b1+b2+。。。+b30)为偶数 矛盾，所以命题成立 2。
（首先应加一个条件，a,b,c均为整数) 不妨设c为斜边 a^2+b^2=c^2 因为x^2≡0,1,4(mod 8) 若a^2,b^2,c^2≡1,4(mod 8),则等式显然不成立 所以a^2,b^2,c^2中一定有一个数被8整除 则其中一定有一个数被4整除，则4|abc x^2≡0,1(mod3) 显然不可能a^2,b^2,c^2均mod3余1 所以一定有一个数mod3余0，即这个数被3整除,则3|abc x^2≡0,±1(mod5) 若a^2,b^2,c^2≡±1(mod 8）则无法使等式成立 所以一定有一个数被5整除，即5|abc 因为3，4，5两两互质 所以3*4*5=60|abc。
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