证明

数学题求证：a^1999-a^999是10的倍数，其中a是大于1的自然数。

证明： 求证a^1999-a^999是10的倍数，只要证明a^1999-a^999的个位是0就可以了。所以 只要考虑a的个位数即可。 因为任何一个自然数a都可以写成10k + p，其中k是非负整数，p是0～9的自然数。 a^1999 = (10k + p)^1999 展开后前1998项都可以被10整除。 同理a^999也是如此。所以 只要考虑p^1999 和p^999 当p = 0时，显然a^1999-a^999是10的倍数 下面讨论p = 1～9时的情况 1、p = 1（这时k不为0，否则与题意不符） p^1999-p^999 = 0 显然a^1999-a^999是10的倍数 2、p...全部

  证明： 求证a^1999-a^999是10的倍数，只要证明a^1999-a^999的个位是0就可以了。所以 只要考虑a的个位数即可。 因为任何一个自然数a都可以写成10k + p，其中k是非负整数，p是0～9的自然数。
   a^1999 = (10k + p)^1999 展开后前1998项都可以被10整除。 同理a^999也是如此。所以 只要考虑p^1999 和p^999 当p = 0时，显然a^1999-a^999是10的倍数 下面讨论p = 1～9时的情况 1、p = 1（这时k不为0，否则与题意不符） p^1999-p^999 = 0 显然a^1999-a^999是10的倍数 2、p = 2 见下面表格 n 2^n 个位数 1 2^1 2 2 2^2 4 3 2^3 8 4 2^4 6 5 2^5 2 6 2^6 4 ……………… 由上面表格可知 当n = 4m（m为自然数）时，2^n的个位数6 当n = 4m+1（m为自然数）时，2^n的个位数2 当n = 4m+2（m为自然数）时，2^n的个位数4 当n = 4m+3（m为自然数）时，2^n的个位数8 1999 = 4×499 + 3 999 = 4×249 +3 所以2^1999和2^999的个位数都是8，2^1999-2^999的个位数是0，所以2^1999-2^999是10的倍数。
   3、p = 3 见下面表格 n 3^n 个位数 1 3^1 3 2 3^2 9 3 3^3 7 4 3^4 1 5 3^5 3 6 3^6 9 ……………… 由上面表格可知 当n = 4m（m为自然数）时，3^n的个位数1 当n = 4m+1（m为自然数）时，3^n的个位数3 当n = 4m+2（m为自然数）时，3^n的个位数9 当n = 4m+3（m为自然数）时，3^n的个位数7 与p = 2的形式是相同的 3^1999和3^999的个位数都是7，3^1999-3^999的个位数是0，所以3^1999-3^999是10的倍数。
   4、p = 4 见下面表格 n 4^n 个位数 1 4^1 4 2 4^2 6 3 4^3 4 4 4^4 6 5 4^5 4 6 4^6 6 ……………… 由上面表格可知 当n = 2m（m为自然数）时，4^n的个位数6 当n = 2m+1（m为自然数）时，4^n的个位数4 4^1999和4^999的个位数都是4，4^1999-4^999的个位数是0，所以4^1999-4^999是10的倍数。
   5、p = 5或6 p^n的个位数都是5或6，所以p^1999-p^999的个位数是0，所以p^1999-p^999是10的倍数。 6、p = 7或8 分析方式同p =2，这里略，显然p^1999-p^999是10的倍数。
   7、p = 9 分析方式同p = 4，这里略，显然p^1999-p^999是10的倍数。 综上所述，a^1999-a^999是10的倍数。收起