5的倍数

设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数. 证明:勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数,且m>n).

题目有误！ 如a=6，b=8，c=10，6不能表示成两个正整数的平方差， 再如a=9，b=12，c=15，15不能表示成两个正整数的平方和。 题目应该改为 1。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。 证明:当（a，b）=1时（即互质），勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数,且m>n)。 2。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。 证明:勾股数都能用（m^2-n^2）d,2mnd,（m^2+n^2）d表示(m,n为正整数,且m>n，（a，b）=d)。 证明如下： 这里证明1： 假设a...全部

  题目有误！ 如a=6，b=8，c=10，6不能表示成两个正整数的平方差， 再如a=9，b=12，c=15，15不能表示成两个正整数的平方和。 题目应该改为 1。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。
   证明:当（a，b）=1时（即互质），勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数,且m>n)。 2。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。
   证明:勾股数都能用（m^2-n^2）d,2mnd,（m^2+n^2）d表示(m,n为正整数,且m>n，（a，b）=d)。 证明如下： 这里证明1： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 　　如果a,b均奇数，即除以4的余数只可能是1,3。
  从而其平方除以4的余数只可能是1，（这是因为1^2=1,3^2=9=8+1） 则a^2 + b^2 除以4的余数只可能是2，但由于a,b均奇数， 从而c必为偶数，c^2必为4的倍数，即除以4余数为零。
   结合a^2+b^2=c^2可推出矛盾。因此a，b中必定存在一个偶数。不妨设b为偶数并记b=2k，于是a，c均为奇数。 　　等式化为4k^2 = (c+a)(c-a) 　　作代换：M=(c+a)/2, N=(c-a)/2，可知M，N为正整数 并且k^2=MN 　　现在往证：(M,N)=1 　　如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=a), 从而p|c, p|a, 从而p|b，这与(a,b)=1矛盾 　　所以(M,N)=1得证。
   　　依照算术基本定理， k^2 =（ p1^a1） * （p2^a2） * （p3^a3 ）* 。。。， 其中a1,a2。。。均为偶数，p1,p2,p3。。。均为质数 　　如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，由于k^2=MN， 从而N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，这与 （M,N）=1矛盾　所以对于所有质因子,pi^2|M, 从而M是平方数，同样N也是平方数。
  　 设M = m^2, N = n^2 从而有c+a = 2m^2, c-a= 2n^2，解得c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, 从而b=2mn， 综上：当（a，b）=1时（即互质），勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数，m>n) 视频讲解的证明请你参看： 。
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