5的倍数

    一个正整数的平方除以5,所得余数是0,1,4等3个数中之一 一个完全平方数中,当且仅当除以5的余数为0时,这个数为5的倍数。 在a^2+b^2=c^2中 设a^2,b^2,c^2除以5的余数分别p,q,r, 则p,q,r取值都只能是0,1或4, 且p+q=r(或q+5) 当且仅当p=1且q=4或p=4且q=1时,r=0,c为5的倍数; 或p=r=1(或4)时,q=0,b为5的倍数; 或q=r=1(或4)时,p=0,a为5的倍数。
     所以a,b,c中至少有一个是5的倍数。 。

    约定本文中所有字母和代数式都表示正整数 按除以5所得余数分类, 所有正整数分5类: 5m,5m±1,5m±2。 由(5m)^2=25m^2, (5m±1)^2=5(5m^2±2m)+1, (5m±2)^2=5(5m^2±4m)+4得, 所有正整数的平方分3类, 5k, 5k+1, 5k+4。
     由此可知, 正整数 5k+2, 5k+3 都不是完全平方数。 题中a,b,c是正整数,且a^2+b^2=c^2时, a^2+b^2, c^2-a^2都是完全平方数(*) 1。
   设a,b都不是5的倍数, 则a^2,b^2也不是5的倍数, 当a^2=5p+1,b^2=5q+4或a^2=5p+4,b^2=5q+1时,c^2=5(p+q+1)是5的倍数, c是5的倍数。
     当a^2=5p+1,b^2=5q+1时,a^2+b^2=5(p+q)+2,不是完全平方数,与(*)矛盾 同理,当a^2=5p+4,b^2=5q+4时,与(*)矛盾 由上得,若a^2+b^2=c^2, a,b都不是5的倍数时, c是5的倍数。
   2。 设a,c都不是5的倍数, 则a^2,c^2也不是5的倍数, 当a^2=5p+1,c^2=5r+1或a^2=5p+4,c^2=5r+4时,b^2=5(r-p)是5的倍数, b是5的倍数。
     当a^2=5p+1,c^2=5r+4时,b^2=5(r-p)+3,不是完全平方数, 与(*)矛盾 同理,当a^2=5p+4,c^2=5r+1时,与(*)矛盾 由上得, 若a^2+b^2=c^2, a,c都不是5的倍数时, b是5的倍数。
   由1和2得, 若a^2+b^2=c^2, 则a,b,c中至少有一个是5的倍数。   。

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  设：a=k,b=2m,c=3n(a,b,c都不是5的倍数,k,m,n∈N+ 那么：k²+4m²=9n²====＞4m²=9n²-k²=(3n+k)(3n-k) ∴(2m)²=(3n+k)(3n-k) ∴2m=3n+k=3n-k ∴k=0 这与题目a是正整数矛盾 ∴a,b,c中最少有一个是5的倍数 。
  

    证法1： 反证，设a，b，c都不是5的倍数，即除以5余数不为零，记a，b，c除以5的余数分别为m，n，k，其中1n。 （a，b）=d。 如果a是5的倍数，结论成立，下设a不是5的倍数，由于 一个正整数除以5的余数只可能是0，1,2,3,4 注意到1^2=1,2^2=4,3^2=9=5+4,4^2=16=15+1, 从而一个正整数的平方除以5的余数只可能是0,1,4。
     但a不是5的倍数，于是a^2除以5的余数只可能是1或4。 又a=(m^2-n^2)d，由此可知m^2，n^2除以5的余数不能相同，（否则，a将是5的倍数），进而m^2，n^2除以5的余数一个为1，另一个为4，这就说明m^2+n^2是5的倍数，因此c=(m^2+n^2)d是5的倍数。
    证毕。