不等式证明设a,b,c为正整数,
原题条件有误,更正如下:
设a,b,c为非负实数,且a+b+c=1,
求证:(1+a)(1+b)(1+c)>=8(1-a)(1-b)(1-c)
证明一:因为 (1+a)^2>=(1+a)^2-(b-c)^2
=(1+a-b+c)(1+a+b-c)=4(1-b)(1-c),
即(1+a)^2>=4(1-b)(1-c),
同理 (1+b)^2>=4(1-c)(1-a),
(1+c)^2>=4(1-a)(1-b),
上述三式相乘、再开方,即得
(1+a)(1+b)(1+c)>=8(1-a)(1-b)(1-c)。
证明二:(构造函数法)
(1+a)(1+b)(1+c)>=8(1-a)(1-b)...全部
原题条件有误,更正如下:
设a,b,c为非负实数,且a+b+c=1,
求证:(1+a)(1+b)(1+c)>=8(1-a)(1-b)(1-c)
证明一:因为 (1+a)^2>=(1+a)^2-(b-c)^2
=(1+a-b+c)(1+a+b-c)=4(1-b)(1-c),
即(1+a)^2>=4(1-b)(1-c),
同理 (1+b)^2>=4(1-c)(1-a),
(1+c)^2>=4(1-a)(1-b),
上述三式相乘、再开方,即得
(1+a)(1+b)(1+c)>=8(1-a)(1-b)(1-c)。
证明二:(构造函数法)
(1+a)(1+b)(1+c)>=8(1-a)(1-b)(1-c)
1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc>=8[1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc]
2+(ab+bc+ca)+abc>=8[(ab+bc+ca)-abc]
7(ab+bc+ca)-9abc(7/9)(ab+bc+ca)-abc=8(1-a)(1-b)(1-c)
1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc>=8[1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc]
2+(ab+bc+ca)+abc>=8[(ab+bc+ca)-abc]
7(ab+bc+ca)-9abc=b>=c,则a+b>=2/3,c=8(1-a)(1-b)(1-c)
1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc>=8[1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc]
2+(ab+bc+ca)+abc>=8[(ab+bc+ca)-abc]
7(ab+bc+ca)-9abc(a+c)b+ac(1-(9/7)b)<=2/7 (1)
下面磨光变换法证明不等式(1)。
令a’=1/3, b’=b, c’=a+c-1/3,则b’=b<=1/2,且由a+c=a’+c’可知,ac<=a’c’,于是
(a+c)b+ac(1-(9/7)b)<=(a’+c’)b’+a’c’(1-(9/7)b’)
=(1/3+c’)b’+(1/3)c’(1-(9/7)b’)
=(1/3)b’+b’c’+(1/3)c’-(3/7)b’c’
=7/3(b’+c’)+4b’c’
<=(1/3)(b’+c’)(3/7)(b’+c’)^2
=1/3*(2/3)+(3/7)(2/3)^2
=2/7。
因此,不等式(1)成立,从而原不等式成立。
注记: 这个不等式的证明方法很多,除了上面给出的证法外,还有其它证法,此处不再赘述。收起
