高二数学

高二数学一：直三棱锥ABC-A1

一：直三棱锥ABC-A1B1C1中。AC=BC=CC1=2 AC垂直于BC。点D为AB的中点。 （1）求点B到平面CDB1的距离 如左图 已知AC⊥BC且AC=BC=2，即△ABC为等腰直角三角形 已知点D为斜边AB中点 所以，CD⊥AB S△BCD=(1/2)S△ABC=(1/2)*[(1/2)*AC*BC]=(1/4)*2*2=1 已知ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面BCD 则，V三棱锥B1-BCD=(1/3)*S△BCD*BB1=(1/3)*1*2=2/3 因为CD⊥AB，BB1⊥CD 所以，CD⊥面AA1B1B 则，CD⊥DB1 那么，△CDB1为直角三角形 由勾股定...全部

  一：直三棱锥ABC-A1B1C1中。AC=BC=CC1=2 AC垂直于BC。点D为AB的中点。 （1）求点B到平面CDB1的距离 如左图 已知AC⊥BC且AC=BC=2，即△ABC为等腰直角三角形 已知点D为斜边AB中点 所以，CD⊥AB S△BCD=(1/2)S△ABC=(1/2)*[(1/2)*AC*BC]=(1/4)*2*2=1 已知ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面BCD 则，V三棱锥B1-BCD=(1/3)*S△BCD*BB1=(1/3)*1*2=2/3 因为CD⊥AB，BB1⊥CD 所以，CD⊥面AA1B1B 则，CD⊥DB1 那么，△CDB1为直角三角形 由勾股定理可以得到：CD=√2，DB1=√6 所以，S△CDB1=(1/2)*CD*DB1=(1/2)*√2*√6=√3 过点B作面CDB1的垂线，垂足为O；过点O作CB1的垂线，垂足为E，连接BE 则BO为点B到面CDB1的距离 而，BO为三棱锥B-CDB1的高 所以，V三棱锥B-CDB1=(1/3)*S△CDB1*BO=(1/3)*√3*BO=(√3/3)BO 又，V三棱锥B-CDB1=V三棱锥B1-BCD【即同一个四面体，只是顶点的选择不同】 所以：(√3/3)BO=2/3 则，BO=2√3/3 （2）求二面角B-B1C-D的大小 因为BO⊥面CDB1，所以：BO⊥CB1 又OE⊥CB1 所以，CB1⊥面BOE 则，CB1⊥BE 则，∠BEO为二面角B-B1C-D的平面角 而△BCB1为等腰直角三角形，所以：BE=(1/2)CB1=√2/2 所以，sin∠BEO=BO/BE=(2√3/3)/(√2/2)=(2√6)/3 所以，∠BEO=arcsin(2√6/3) 二：四棱锥P-ABCD中。
  PA垂直底面ABCD。AB平行于CD 。AD=CD=1 。角BAD=120度 PA=根号3 角ACB=90度。求点B 到平面PCD的距离。 如右图 已知AB//CD，∠BAD=120° 所以，∠ADC=60° 已知AC=CD=1 所以，△ACD为等边三角形 则，∠DAC=∠BAC=60° 已知∠ACB=90° 所以，在Rt△ACB中：AB=2，BC=√3 已知PA⊥面ABCD 所以，△PAD，△PAC均为直角三角形 由勾股定理有：PC=PD=2 过点P作CD的垂线，垂足为E 则，点E为CD中点，且PE⊥CD 那么，PE=(√15)/2 所以，S△PCD=(1/2)*CD*PE=(1/2)*1*(√15/2)=(√15)/4 △BCD中，∠BCD=90°+60°=150°，CD=1，BC=√3 所以，S△BCD=(1/2)*BC*CD*sin∠BCD=(1/2)*√3*1*(1/2)=(√3)/4 因为PA⊥面ABCD 所以，V三棱锥P-BCD=(1/3)*S△BCD*PA=(1/3)*(√3/4)*√3=1/4 又，V三棱锥B-PCD=(1/3)*S△PCD*h=(1/3)*(√15/4)*h 而V三棱锥P-BCD=V三棱锥B-PCD【理由同第一题】 所以：(1/3)*(√15/4)h=1/4 解得，h=(√15)/5 即，点B到面PCD的距离为(√15)/5 【说明：这两个题属于同一个类型。
  很多时候求点到平面的距离都是通过体积来转化的！】。收起