难题

高中数学题目已知椭圆C的两个焦点

⑴ 设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0)， 由椭圆定义知， |MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a， 故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a， 即4a=8→a=2。 又c=√3，于是b^2=1， 故C为x^2/4+y^2=1。 ⑵ 设m为y=kx+2(k≠0)， 且m、C交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)， 以m代入C整理得， (1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ① 其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0， ∴k>√3/2或k<-√3/2 ② ∵以AB为直径的圆过原点，故...全部

  ⑴ 设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0)， 由椭圆定义知， |MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a， 故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a， 即4a=8→a=2。
   又c=√3，于是b^2=1， 故C为x^2/4+y^2=1。 ⑵ 设m为y=kx+2(k≠0)， 且m、C交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)， 以m代入C整理得， (1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ① 其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0， ∴k>√3/2或k<-√3/2 ② ∵以AB为直径的圆过原点，故OA⊥OB， 于是，x1x2+y1y2=0， 即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0 →(1+k^2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0， 由①及韦达定理，得 [12(1+k^2)/(1+4k^2)]+[2k(-16k)/(1+4k^2)]+4=0 →k=±2 故m为：y=±2x+2。
   ⑶ 假设C上存在两点E(x3，y3)、F(x4，y4)关于 y=2x+2对称， 且线段EF中点为H(x0，y0)，则 {x3+x4=2x0 {y3+y4=2y0 {x3^2+4y3^2=4 {x4^2+4y4^2=4 {x3≠x4 故易得， (y3-y4)/(x1-x4)=-x0/(4y0) 又，[(y3-y4)/(x3-x4)]·(±2)=-1， ∴-x0/(4y0)=±1/2 →x0=±2y0 ③ 而点H(x0，y0)在y=±2x+2上， ∴y0=±2x0+2 ④ 由③、④解得， x0=-4/3，y0=-2/3；或x0=4/3，y0=2/3。
   ∵x0^2/4+y0^2=16/9×1/4+4/9<1， ∴点H在C内，即C上存在两点E、F关于 y=±2x+2的对称， 此时，EF为：y=±(1/2)x-4/3， 。收起