过椭圆9x^2+4y^2=36的一个焦点且斜率为2的直线被椭圆截得的弦长为|AB|，试求|AB|；

过椭圆9x^2+4y^2=36的一个焦点且斜率为2的直线被椭圆截得的弦长为|AB|，试求|AB|；并求弦AB中点M到该焦点的距离。

全部回答

2012-07-12

0 0

椭圆标准方程为：(x^2/4)+(y^2/9)=1 其中，a^2=9，b^2=4 所以，c^2=a^2-b^2=5 则焦点为F1(0,√5)，F2(0,-√5) 不妨设直线经过焦点F1(0,√5)，已知斜率为2 所以，直线方程为：y-√5=2(x-0)=2x 即，y=2x+√5 联立直线与椭圆方程有：9x^2+4(2x+√5)^2=36 ===> 9x^2+4*(4x^2+4√5x+5)-36=0 ===> 25x^2+16√5x-16=0 所以： x1+x2=-(16√5)/25 x1*x2=-16/25 则，(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=576/125 那么，(y1-y2)^2=[(2x1+√5)-(2x2+√5)]^2=4(x1-x2)^2 所以，|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] =√5*|x1-x2|=√5*√(576/125) =24/5 由x1+x2=-(16√5)/25得到： y1+y2=(2x1+√5)+(2x2+√5)=2(x1+x2)+2√5 =(18/25)√5 所以： (x1+x2)/2=(-8/25)√5 (y1+y2)/2=(9/25)√5 则，点M((-8/25)√5,(9/25)√5) 已知焦点F1(0,√5) 所以，|MF1|=√{[(8/25)√5]^2+[(16/25)√5]^2}=8/5。
。

提交

曼***

2012-07-12

58 0

     本题是焦点弦问题,用椭圆的极坐标方程最简单,运算量最少。椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的极坐标方程是ρ=b²/(a-ccos)α, 椭圆y²/a²+x²/b²=1的极坐标方程是ρ=b²/[a-ccos(α+π/2)],即 ρ=b²/(a+csinα)。
     设弦AB端点的极坐标为A(ρ1,α),B(ρ2,π+α),则 |AB|=ρ1+ρ2=b²/(a+csinα)+ρ=b²/(a-csinα)=2ab²/(a²-c²sin²α)。
   把a=3,b=2,c=√5,sinα=2/√5代入,得|AB|=24/5。   。

过椭圆9x^2+4y^2=36的一个焦点且斜率为2的直线被椭圆截得的弦长为|AB|，试求|AB|；

全部回答

相关回答

高二文科数学已知一直线与椭圆4x

类似问题换一批

热点推荐

热度TOP

热点搜索换一换

过椭圆9x^2+4y^2=36的一个焦点且斜率为2的直线被椭圆截得的弦长为|AB|，试求|AB|；

全部回答

相关回答

高二文科数学已知一直线与椭圆4x

类似问题换一批

热点推荐

热度TOP

热点搜索 换一换

热点搜索换一换