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高中数学题目

已知椭圆C的两个焦点为F1(-根号3,,0),F2(根号3,0),(1)当直线L过点F1与椭圆C交M,N两点,且当三角形MF2N的周长为8时,求椭圆C的周长;(2)在(1)的条件下,过P(0,2)的直线m与椭圆C交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点,求直线m的方程;(3)在(1)与(2)的条件下,椭圆C上是否存在两点E,F关于直线m对称?如对称,求出方程,如不存在请说明理由。

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2011-12-30

0 0

    ⑴ 设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0), 由椭圆定义知, |MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a, 故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a, 即4a=8→a=2。
   又c=√3,于是b^2=1, 故C为x^2/4+y^2=1。   ⑵ 设m为y=kx+2(k≠0), 且m、C交于点A(x1,y1)、B(x2,y2), 以m代入C整理得, (1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ① 其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0, ∴k>√3/2或k<-√3/2 ② ∵以AB为直径的圆过原点,故OA⊥OB, 于是,x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0 →(1+k^2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0, 由①及韦达定理,得 [12(1+k^2)/(1+4k^2)]+[2k(-16k)/(1+4k^2)]+4=0 →k=±2 故m为:y=±2x+2。
     ⑶ 假设C上存在两点E(x3,y3)、F(x4,y4)关于 y=2x+2对称, 且线段EF中点为H(x0,y0),则 {x3+x4=2x0 {y3+y4=2y0 {x3^2+4y3^2=4 {x4^2+4y4^2=4 {x3≠x4 故易得, (y3-y4)/(x1-x4)=-x0/(4y0) 又,[(y3-y4)/(x3-x4)]·(±2)=-1, ∴-x0/(4y0)=±1/2 →x0=±2y0 ③ 而点H(x0,y0)在y=±2x+2上, ∴y0=±2x0+2 ④ 由③、④解得, x0=-4/3,y0=-2/3;或x0=4/3,y0=2/3。
     ∵x0^2/4+y0^2=16/9×1/4+4/9<1, ∴点H在C内,即C上存在两点E、F关于 y=±2x+2的对称, 此时,EF为:y=±(1/2)x-4/3, 。
  

2011-12-22

65 0

    1。a=2 c=3^(1/2) b=1 方程为 x^2/2+y^2=1 2。
    设m的方成为 Y=kX+2 代入椭圆方程中 4(kX+2)^2+X^2=4 即 (4k^2+1)X^2+16kx+12=0 设A(a,b),B(m,n) 根据韦达定理 a+m=-16k/(4k^2+1) a*m=12/(4k^2+1) (1) AB为直径 所以角AOB=90 所以 Kao*Kbo=-1(Kao表示直线AO的斜率,后亦同) Kao=b/a Kbo=n/m 则有ma+bn=0 分别以它们所在的直线代入,有 (k^2++1)ma+2k(m+a)+4=0 (2) 由(1)(2)可解得 k=2或-2。

2011-12-22

61 0

    (1) △MF2N的周长=MN+MF2+NF2=(MF1+NF1)+MF2+NF2 =(MF1+MF2)+(NF1+NF2) =2a+2a =4a 所以,4a=8 则,a=2 已知,c=√3 所以,b^2=a^2-c^2=1 所以,椭圆方程为:x^2/4+y^2=1。
     (2) 设过点P(0,2)的直线斜率为k,则:y=kx+2 联立直线与椭圆x^2+4y^2-4=0得到: x^2+4(kx+2)^2-4=0 ===> x^2+4k^2*x^2+16kx+12=0 ===> (4k^2+1)x^2+16kx+12=0 ===> x1+x2=-16k/(4k^2+1),x1x2=12/(4k^2+1) 所以,y1*y2=(kx1+2)*(kx2+2)=k^2*x1x2+2k(x1+x2)+4 =12k^2/(4k^2+1)-32k^2/(4k^2+1)+4 =(12k^2-32k^2+16k^2+4)/(4k^2+1) =(-4k^2+4)/(4k^2+1) 已知以AB为直径的圆经过原点,则∠AOB=90° 即,AO⊥BO 所以,Kao*Kbo=-1 ===> (y1/x1)*(y2/x2)=-1 ===> y1y2=-x1x2 ===> (-4k^2+4)/(4k^2+1)=-12/(4k^2+1) ===> -4k^2+4=-12 ===> 4k^2=16 ===> k=±2 所以,直线m的方程为:y=±2x+2。
     (3)直线m的方程已经确定,还求什么方程呀?!。

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