20分求一题设F1,F2分别是椭
设F1,F2分别是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点，点A为右顶点，直线L：x=-a²/c，过F1的直线L'：x=my-c与椭圆相交于P,Q两点，且有向量AP·AQ=0。 5(a+c)²
（1）求椭圆C的离心率的取值范围
（2）若离心率e∈（1/2，2/3）求m的取值范围
（3）若直线向量AP,AQ分别与直线l交于点M,N,求向量OM*ON的值。
（1）F1(-c,0),F2(c,0),A(a,0)
联立L'与椭圆方程：b²(my²-c)²+a²y²=...全部
设F1,F2分别是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点，点A为右顶点，直线L：x=-a²/c，过F1的直线L'：x=my-c与椭圆相交于P,Q两点，且有向量AP·AQ=0。
5(a+c)²
（1）求椭圆C的离心率的取值范围
（2）若离心率e∈（1/2，2/3）求m的取值范围
（3）若直线向量AP,AQ分别与直线l交于点M,N,求向量OM*ON的值。
（1）F1(-c,0),F2(c,0),A(a,0)
联立L'与椭圆方程：b²(my²-c)²+a²y²=a²b²
--->(b²m²+a²)y²-2b²cmx-(c²-a²)²=0
--->yP+yQ=2(a²-c²)cm)/(b²m²+a²), yPyQ=-(c²-a²)²/(b²m²+a²)
AP·AQ =(xP-a,yP)·(xQ-a,yQ)
=(xP-a)(xQ-a)+yPyQ
=(myP-c-a)(myQ-c-a)+yPyQ
=(c+a)²-(c+a)m(yP+yQ)+(m²+1)yPyQ
=(c+a)²-[(c+a)m*2(a²-c²)cm)+(m²+1)(c²-a²)²]/(b²m²+a²)
= (c+a)²/2
--->[2(a-c)cm²+(m²+1)(a-c)²]/(b²m²+a²) = 1/2
--->4(a-c)cm²+2(m²+1)(a-c)² = (a²-c²)m²+a²
--->[4(a-c)c+2(a-c)²-(a²-c²)]m² = a²-2(a-c)²
--->[4ac-c²+2a²-4ac+2c²-a²+c²]m² = a²-2(a²-2ac+c²)
--->(a²+2c²)m² = 4ac-(a²+2c²)
--->m² = 4ac/(a²+2c²)-1 = 4e/(1+2e²)-1 。
。。。。。。。。。。。。
(*)
∵m²≥0--->4e/(1+2e²)≥1
--->2e²-4e+1≤0
--->(2-√2)/2≤e＜1＜(2-√2)/2
（2）1/2＜e＜2/3--->3/2＜1/e＜2
由(*)：(1+2e²)=4e/(1+m²)--->(1+2e²)(1+m²)=4e
--->f(e) = 2(1+m²)e² - 4e + (1+m²) = 0
两根之积 e*e'=1/2--->3/4＜e'=1/2e＜1
即f(e)=0有且只有一个根e在区间(1/2,2/3)
f(1/2)=(3/2)(1+m²)-2＞0------->1+m²＞4/3----->m²＞1/3
f(2/3)=(17/9)(1+m²)-8/3＜0---->1+m²＞24/17--->m²＞7/17
--->m²＞7/17--->m＞√119/17或m＜-√119/17
（3）。收起
