平面解析几何
椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A,在X轴的负半轴上有一点B，满足：向量BF1=F1F2，AB?AAF2. (1)求椭圆C的离心率； (2)D是过A、B、F2三点的圆上的点，D到直线l:x-√3y-3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程。
全部回答
(1)设B(x0,0)。由F2(c,0),A(0,b)知，
向量AF2=(c,-b),向量AB=(x0,-b)。
∵向量AF2?A向量AB，
∴cx0+b^2＝0→x0＝-b^2/c。
由向量BF1＝向量F1F2，知F1为BF2中点， 故(-b^2/c)+c＝-2c, ∴b^2＝3c^2＝a^2-c^2→a^2＝4c^2， 故椭圆C的离心率e＝1/2。 (2)由(1)知，c/a=1/2→c＝a/2， 于是，点F2(a/2,0)、B(-3a/2,0), △ABF的外接圆圆心为F1(-a/2，0)，半径r＝a, D到l：x-√3y-3＝0的最大距离等于2a, ∴圆心到直线的距离为a, ∴|-a/2-3|/2＝a 解得，a＝2，∴c＝1，b＝√3， 故椭圆C为：x^2/4+y^2/3＝1。
。
由向量BF1＝向量F1F2，知F1为BF2中点， 故(-b^2/c)+c＝-2c, ∴b^2＝3c^2＝a^2-c^2→a^2＝4c^2， 故椭圆C的离心率e＝1/2。 (2)由(1)知，c/a=1/2→c＝a/2， 于是，点F2(a/2,0)、B(-3a/2,0), △ABF的外接圆圆心为F1(-a/2，0)，半径r＝a, D到l：x-√3y-3＝0的最大距离等于2a, ∴圆心到直线的距离为a, ∴|-a/2-3|/2＝a 解得，a＝2，∴c＝1，b＝√3， 故椭圆C为：x^2/4+y^2/3＝1。
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(1) F1(-c,0), F2(c,0), A(0,b), 因|F1F2|=2c，则 B(-3c,0)。
AB斜率为b/(3c)，AF2斜率为b/(-c)，由AB?AAF2，得
[b/(3c)][b/(-c)]=-1, b^2=3c^2, a^2-c^2=3c^2,
a^2=4c^2, 得椭圆C的离心率e=c/a=1/2。
(2) |AF1|=√(b^2+c^2)=a=2c，|BF1|=|F1F2|=2c, 则过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c,0), 半径r=2c，方程为(x+c)^2+y^2=4c^2。
圆上点D(p,q)到直线L:x-√3y-3＝0的距离最大, 则 DF1?AL，L的斜率为1/√3, 得q/(P+C)=-√3，(p+c)^2+q^2=4c^2, 得D(-2c,c√3)， D(0,-c√3)（舍去）。
最大距离 d=|-2c-3c-3|/2=(5c+3)/2=2a=4c, 得c=1, 则a=2, b^2=3。 则椭圆C的方程为 x^2/4+y^2/3=1。
(2) |AF1|=√(b^2+c^2)=a=2c，|BF1|=|F1F2|=2c, 则过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c,0), 半径r=2c，方程为(x+c)^2+y^2=4c^2。
圆上点D(p,q)到直线L:x-√3y-3＝0的距离最大, 则 DF1?AL，L的斜率为1/√3, 得q/(P+C)=-√3，(p+c)^2+q^2=4c^2, 得D(-2c,c√3)， D(0,-c√3)（舍去）。
最大距离 d=|-2c-3c-3|/2=(5c+3)/2=2a=4c, 得c=1, 则a=2, b^2=3。 则椭圆C的方程为 x^2/4+y^2/3=1。
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