简单不等式证明已知正数a、b满足
证明：
(1)
（1+1/a)(1+1/b)
＝1+1/a＋1/b+1/ab
=1+(a+b)/ab+1/ab
∵ a+b=1
∴原式＝1+2/ab
∵a+b=1>=2√ab(均值不等式)
∴ab=1+8=9
即：(1+1/a)(1+1/b)>=9
(2)
a^4+b^4
=a^4+2a^2b^2+b^4-2a^2b^2
=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2
由均值不等式
√ab≤(a+b)/2=1/2
则ab≤1/4
两边平方则
a^2b^2≤1/16……（I)
∵a+b=1
∴(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=1
∴a^2+b^2=1-2ab≥1-1/2=1/2……（II）
...全部
证明：
(1)
（1+1/a)(1+1/b)
＝1+1/a＋1/b+1/ab
=1+(a+b)/ab+1/ab
∵ a+b=1
∴原式＝1+2/ab
∵a+b=1>=2√ab(均值不等式)
∴ab=1+8=9
即：(1+1/a)(1+1/b)>=9
(2)
a^4+b^4
=a^4+2a^2b^2+b^4-2a^2b^2
=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2
由均值不等式
√ab≤(a+b)/2=1/2
则ab≤1/4
两边平方则
a^2b^2≤1/16……（I)
∵a+b=1
∴(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=1
∴a^2+b^2=1-2ab≥1-1/2=1/2……（II）
由(I)(II)得
(a^2+b^2)^2-2a^2b^2≥1/2)^2-2*1/16=1/4-1/8=1/8
即：a^4+b^4≥1/8
。
收起
