一道高中立体几何小证明题ABCD
题目有误，应为ABCD-EFGH是一个正方体。
证明：如图所示，设正方体棱长为1。
(1) 正方形对角线EG⊥FH,由三垂线逆定理,得EG⊥DF,同理AF⊥BE,∴ BE⊥DF, BF∩EG=F, ∴ DF⊥面BEG
(2) 设DF交面BEG于P, ∵ DF在面BDHF内, 面BDHF⊥面BEG, 面BDHF∩面BEG=BO'(△BEG的一条中线), ∴ 点P∈BO'。 在矩形BDHF中BO'∥HO,Q为DP的中点, ∴ P为QF的中点, ∴ DQ=QP=PF=(1/3)DF=√3/3, ∴ 体对角线DF与面BEG的交点P是DF的一的三等分点。
(3) BO'=√(BF²...全部
题目有误，应为ABCD-EFGH是一个正方体。
证明：如图所示，设正方体棱长为1。
(1) 正方形对角线EG⊥FH,由三垂线逆定理,得EG⊥DF,同理AF⊥BE,∴ BE⊥DF, BF∩EG=F, ∴ DF⊥面BEG
(2) 设DF交面BEG于P, ∵ DF在面BDHF内, 面BDHF⊥面BEG, 面BDHF∩面BEG=BO'(△BEG的一条中线), ∴ 点P∈BO'。
在矩形BDHF中BO'∥HO,Q为DP的中点, ∴ P为QF的中点, ∴ DQ=QP=PF=(1/3)DF=√3/3, ∴ 体对角线DF与面BEG的交点P是DF的一的三等分点。
(3) BO'=√(BF²+FO'²)=√6/2, PO'=√(FO'²+PF²)=√6/6, ∴ BP=BO'-PO'=√6/3。
∵ BP/PO'=2, ∴ 点P是△BEG重心 。收起
