初二几何在四边形ABCD中,M,
在四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,且MN=(AB+CD)/2,求证AD∥BC。
证明 假设AD不平行BC。连结BD。
并设P是BD的中点,再连结PM,PN。
据三角形中位线定理得:
PM=AD/2, PM∥AD; PN=BC/2, PN∥BC。
从而 PM+PN=(AD+BC)/2。 (1)
这时BD的中点P不在MN上,
若不然,则由MN∥AD,MN∥BC,得AD∥BC,
与假设矛盾。于是M,P,N三点不共线。
从而 PM+PN>MN (2)
显然(1),(2)式与条件MN=...全部
在四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,且MN=(AB+CD)/2,求证AD∥BC。
证明 假设AD不平行BC。连结BD。
并设P是BD的中点,再连结PM,PN。
据三角形中位线定理得:
PM=AD/2, PM∥AD; PN=BC/2, PN∥BC。
从而 PM+PN=(AD+BC)/2。 (1)
这时BD的中点P不在MN上,
若不然,则由MN∥AD,MN∥BC,得AD∥BC,
与假设矛盾。于是M,P,N三点不共线。
从而 PM+PN>MN (2)
显然(1),(2)式与条件MN=(AB+CD)/2相矛盾,
因此假设不成立,从而AD∥BC。
下面的证法与两楼略有不同。
证明 连AC,取AC中点K,连KM,KN。
则根据三角形中位线定理得:
KM=BC/2, KM∥BC; KN=BC/2, KN∥AD;
即 KM+KN=(BC+AD)/2。
又因为 MN=(AB+CD)/2,
所以M,K,N三点共线,因此AD∥BC。收起