几何竞赛题

几何竞赛题在锐角三角形ABC中,

在锐角三角形ABC中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线。证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上。 证明 因为△ABC为锐角三角形,所以外心O在形内。 设BC=a,CA=b,AB=c,O到三边BC,CA,AB的距离分别为X,Y,Z。 则 X=R*cosA,Y=R*cosB,Z=R*cosC, AM=bc/(a+c),AN=bc/(a+b), AE=c*cosA,AF=b*cosA。 (一),O在MN上。 因为S(AMN)=S(AOM)+S(AON) S(ABC)*(AM/AC)*(AN/AB)=S(AOM)+S(AON) (aR*cosA+bR*cosB+c...全部

  在锐角三角形ABC中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线。证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上。 证明 因为△ABC为锐角三角形,所以外心O在形内。 设BC=a,CA=b,AB=c,O到三边BC,CA,AB的距离分别为X,Y,Z。
  则 X=R*cosA,Y=R*cosB,Z=R*cosC, AM=bc/(a+c),AN=bc/(a+b), AE=c*cosA,AF=b*cosA。 (一),O在MN上。 因为S(AMN)=S(AOM)+S(AON) S(ABC)*(AM/AC)*(AN/AB)=S(AOM)+S(AON) (aR*cosA+bR*cosB+cR*cosC)*[b/(a+b)]*[c/(a+c)] =bcR[cosC/(a+b)+cosB/(a+c)] cosA=cosB+cosC (1) (二)I在EF上 因为S(AEF)=S(AIE)+S(AIF) S(ABC)*(AE/AC)*(AF/AB)=S(AIE)+S(AIF) r(a+b+c)(cosA)^2=r(b+c)cosA (a+b+c)cosA=b+c (a+b+c)cosA=c*cosA+a*cosC+b*cosA+a*cosB cosA=cosB+cosC (2) 因此 O在MN上I在EF上。
   。收起