初中竞赛题（几何），超难。求高人
证明:(同一法)
过A作AL⊥BC于L,显然DF,AL,EG两两平行。
设AL=h,cot∠B=x,cot∠C=y,则BL=hx,CL=hy,因此BC=hx+hy。
连结DC,则BD⊥DC,因此
BF=BDcos∠B
=BC(cos∠B)^2
=BC/(sec∠B)^2 (注:三角函数sec的定义:secx=1÷cosx)
=BC/(1+(tan∠B)^2)
=(hx+hy)/(1+1/x^2)。
=hx^2(x+y)/(1+x^2)。 (注:x^2表示x的平方)
因此
FL=BL-BF
=hx-hx^2(x+y)/(1+x^2)
=(hx-hx^2y)/(1+x^2)
=hx(1-...全部
证明:(同一法)
过A作AL⊥BC于L,显然DF,AL,EG两两平行。
设AL=h,cot∠B=x,cot∠C=y,则BL=hx,CL=hy,因此BC=hx+hy。
连结DC,则BD⊥DC,因此
BF=BDcos∠B
=BC(cos∠B)^2
=BC/(sec∠B)^2 (注:三角函数sec的定义:secx=1÷cosx)
=BC/(1+(tan∠B)^2)
=(hx+hy)/(1+1/x^2)。
=hx^2(x+y)/(1+x^2)。 (注:x^2表示x的平方)
因此
FL=BL-BF
=hx-hx^2(x+y)/(1+x^2)
=(hx-hx^2y)/(1+x^2)
=hx(1-xy)/(1+x^2)。
同理可证
CG=hy^2(x+y)/(1+y^2)。
GL=hy(1-xy)/(1+y^2)。
因此
FL/GL
=x(1+y^2)/y(1+x^2)。
过H作HK⊥BC于K,显然DF,HK,EG两两平行,因此
FK/GK
=DH/GH=DF/EG=BFtan∠B/CGtan∠C
=(BF/x)/(CG/y)
=(hx(x+y)/(1+x^2))/(hy(x+y)/(1+y^2))
=x(1+y^2)/y(1+x^2)。
由上述两方面的结论可得
FL/GL=FK/GK。
也就是说,点K和L重合。
由于过一点K只有一条直线与直线BC垂直,而HK⊥BC,AL⊥BC,因此直线AL和HK是同一条直线,即点A,H,K在一条直线上。
由HK⊥BC可得AH⊥BC,也就是AI⊥BC。命题得证!
请注意,上述证明过程中分别作HK⊥BC于K、AL⊥BC于L,然后证明点K和L重合,这种方法叫做同一法。收起
