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在线等:初三竞赛题【高分】

在线问:ACB、DFE共线,AF交CD于L,AE交BD于M,CE交BF于N,求证:LMN三点共线

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2010-03-13

42 0
    证明: 延长EC,FA交于P,设BD交AF,CE于Q,R 对△PQR,由Menelaus定理逆定理,要证明L,M,N共线, 只须证:(PL/LQ)*(QM/MR)*(RN/NP)=1。
  。。。。。。。(1) 直线AE,BF,CD,AB,DE截△PQR,由Menelaus定理: AE:(PA/AQ)*(QM/MR)*(RE/EP)=1。  。。。。。
  。。。。。。(2) BF:(PF/FQ)*(QB/BR)*(RN/NP)=1。。。。。。。。。。。。(3) CD:(PL/LQ)*(QD/DR)*(RC/CP)=1。。。。。。。。。。。。
  (4) [注意到上面三式中有了(1)式所需三个比值] AB:(PA/AQ)*(QB/BR)*(RC/CP)=1。  。。。。。。。。。。。(5) DE:(PF/FQ)*(QD/DR)*(RE/EP)=1。
  。。。。。。。。。。。(6) 不难看出利用(5)(6)化简(2)*(3)*(4)即可得到(1)式 从而原命题得证 【假如EC,FA的延长线不相交,即平行,则可直接利用相关线段成比例得到结果。
     我想也可以理解成相交于无穷远处,仍作为一个特殊的“三角形”应用Menelaus定理,式中与P有关的线段看成等长约去也无妨吧】。

2010-03-13

48 0
    证:解析法。设AB与DE相交于O。以O为原点,OE 为x轴,建立直角坐标系。设D(d,0),F(f,0),E(e,0),A(a,ka),C(c,kc),B(b,kb)(k≠0)。
   用待定系数法可求得AF的方程为y=[ka/(a-f)](x-f) (1) 同理CD的方程为y=[kc/(c-d)](x-d) (2) 由(1),(2)求得 L的坐标((acf+cdf-acd-adf)/(cf-ad),kac(f-d)/(cf-ad))。
     同理M((abe+bde-abd-ade)/(be-ad),kab(e-d)/(be-ad)), N((bce+bef-bcf-cef)/(be-cf),kbc(e-f)/(be-cf))。
   LM的方程为y-kac(f-d)/(cf-ad)=k[a(c-b)(d-e)+c(a-b)(e-f)]/[(a+d)(be-cf)+(b-c)(ad-ef)+(e-f)(ad-bc)]*[x-(acf+cdf-acd-adf)/(cf-ad)],把N的坐标代入LM的方程,计算太繁,此法不好。
     当AB⊥DE时,设A(0,a),C(0,c),B(0,b),仿上可较快得出结论。 当AB∥DE时,设A(a,g),C(c,g),B(b,g),仿上可较快得出结论。
   注:因射影变换保持三点共线不变,故只需证最后这一种。但这是中学生难以理解的。 期待用综合法证明。   。

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