求助不等式证明

求助不等式证明

设a,b,c是正数,求证 (a^2+b^2+c^2)^2≥3(ab^3+bc^3+ca^3) 这个不等式不难，但也不简单的。 我在奥数之家看到，也没有完整解答。 下面给出四种证法。 证法一[配方法,这个证法不易想到] 记P=(a^2+b^2+c^2)^2-3(ab^3+bc^3+ca^3),Q=a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab, 则有如下恒等式: 4P*Q =[a^3+b^3+c^3-5(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+ac^2+cb^2)]^2 +3[a^3+b^3+c^3-2(ba^2+ac^2+cb^2)-(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2 显...全部

  设a,b,c是正数,求证 (a^2+b^2+c^2)^2≥3(ab^3+bc^3+ca^3) 这个不等式不难，但也不简单的。 我在奥数之家看到，也没有完整解答。 下面给出四种证法。
   证法一[配方法,这个证法不易想到] 记P=(a^2+b^2+c^2)^2-3(ab^3+bc^3+ca^3),Q=a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab, 则有如下恒等式: 4P*Q =[a^3+b^3+c^3-5(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+ac^2+cb^2)]^2 +3[a^3+b^3+c^3-2(ba^2+ac^2+cb^2)-(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2 显然PQ≥0,而Q≥0,故P≥0。
   不等式小组网上有一个更好配方，摘录如下: 4P=(-2c^2+3bc+b^2-3ab+a^2)^2+3(bc-b^2-2ac+ab+a^2)^2。 另外一个不很简单。 证法二[差分代换法] 记P=ab^3+bc^3+ca^3,Q=ba^2+ac^2+cb^2。
   则有已知恒等式: P-Q=(a+b+c)*(b-c)*(c-a)*(a-b) (1) 显然当a≤b≤c,或b≤c≤a,或c≤a≤b时,P≥Q。 下证在a≤b≤c时, (a^2+b^2+c^2)^2≥3(ab^3+bc^3+ca^3) (2) 设c=a+m+n,b=a+m,m,n∈R+。
  对(2)式代换 [a^2+(a+m)^2+(a+m+n)^2]^2-3[(a+m+n)^3*(a+m)+(a+m)^3*a+a^3*(a+m+n)]≥0 上式化简整理为 (m^2+mn+n^2)*a^2+(m^3+n^3-3nm^2-2mn^2)a+(m^4+n^4+mn^3-nm^3-m^2*n^2)≥0 (3) 把(3)式可看作a的一元两次式,由判别式只需证 △=4(n^2+nm+m^2)*(n^4+mn^3-n^2*m^2-nm^3+m^4)-(n^3+m^3-2mn^2-3nm^2)^2 =3(n^6+4mn^5+2m^2*n^4-6m^3*n^3-3m^2*n^4+2mn^5+m^6) =3(n^3+2mn^2-nm^2-m^3)^2≥0 所以(3)式成立,从而不等式(2)获证。
   证法三[分析法] 所证不等式两边同乘上2,再同减去3∑a^3*(b+c),得 2(a^2+b^2+c^2)^2-3∑a^3*(b+c)≥3(ab^3+bc^3+ca^3-ba^3-ac^3-cb^3) ∑(b^2-bc+c^2)*(b-c)^2≥3(b-c)*(a-b)(c-a)*∑a (1) (1)式左边始终为非负,如果右边为负,显然成立。
   (1)式右边在下列三种情况为非负: a≤b≤c,或b≤c≤a,或c≤a≤b。 下面仅需证在a≤b≤c时,所证不等式成立即可。即证 ∑(b^2-bc+c^2)*(b-c)^2≥3(b-c)*(a-b)(c-a)*∑a (2) 由A-G不等式,得 (b^2-bc+c^2)*(b-c)^2+(b^2-ab+a^2)*(a-b)^2 ≥2(b-c)(a-b)√[(b^2-bc+c^2)(b^2-ab+a^2)]; (c^2-ca+a^2)*(c-a)^2≥4(b-c)(a-b)(c^2-ca+a^2)。
   所以欲证(2)只需证 2√[(b^2-bc+c^2)(b^2-ab+a^2)]+4(c^2-ca+a^2)-3(c-a)∑a≥0 (3) 2√[(b^2-bc+c^2)(b^2-ab+a^2)]+c^2+7a^2+3ab-4ca-3bc≥0 (4) 。
  收起