已知a,b均为正数,且a+b=1
证明:(a+1/a)(b+1/b)
=[(a²+1)/a)][(b²+1)/b]
=(a²+1)(b²+1)/(ab)
=(a²b²+a²+b²+1)/(ab)
=[a²b²-2ab+(a+b)²+1]/(ab)
=[(ab-1)²+1]/(ab)
显然分子为关于ab的二次函数,当ab<1时是减函数。
由均值不等式得ab≤[(a+b)/2]²=1/4
故左边≥[(1/4-1)²+1]/(1/4)=25/4=右边
当且仅当ab=1/4,且a=b时“=...全部
证明:(a+1/a)(b+1/b)
=[(a²+1)/a)][(b²+1)/b]
=(a²+1)(b²+1)/(ab)
=(a²b²+a²+b²+1)/(ab)
=[a²b²-2ab+(a+b)²+1]/(ab)
=[(ab-1)²+1]/(ab)
显然分子为关于ab的二次函数,当ab<1时是减函数。
由均值不等式得ab≤[(a+b)/2]²=1/4
故左边≥[(1/4-1)²+1]/(1/4)=25/4=右边
当且仅当ab=1/4,且a=b时“=”成立,此时a=b=1/2。
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