高中数学函数问题:已知函数f(x
已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna, a>1。
若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值。
请帮助详细分析并解答。谢谢。
函数y=|f(x)-t|-1=0，得到：|f(x)-t|=1
所以：f(x)-t=±1
即：f(x)=t+1，或者f(x)=t-1………………………………（1）
而，函数f(x)=a^x+x^2-xlna
则：f'(x)=lna*a^x+2x-lna=lna*(a^x-1)+2x
因为：a＞1，所以：lna＞0
那么：
当x＞0时，a^x＞1，则：f'(x)＞0，函数f(x)单调递增
当x＜0时，a^x＜1，则：f'(x)＜0，函数f(x)单调递减
所...全部
已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna, a>1。
若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值。
请帮助详细分析并解答。谢谢。
函数y=|f(x)-t|-1=0，得到：|f(x)-t|=1
所以：f(x)-t=±1
即：f(x)=t+1，或者f(x)=t-1………………………………（1）
而，函数f(x)=a^x+x^2-xlna
则：f'(x)=lna*a^x+2x-lna=lna*(a^x-1)+2x
因为：a＞1，所以：lna＞0
那么：
当x＞0时，a^x＞1，则：f'(x)＞0，函数f(x)单调递增
当x＜0时，a^x＜1，则：f'(x)＜0，函数f(x)单调递减
所以，函数f(x)在x=0处有最小值=f(0)=1
现，已知函数f(x)的图像与直线t+1和t-1有三个交点（即方程有三个零点），那么：
因为：t+1＞t-1
所以，若t-1＞1，即t＞2，则由f(x)的图像性质可以知道：
f(x)与直线t-1有两个交点，同时f(x)与t+1也有两个交点，那么上述方程就有4个交点，不符合题意。
若t-1＜1，即t＜2，则f(x)与直线t-1没有交点，此时f(x)最多只能是与直线t+1有两个（或者1个）交点。
所以：
t-1=1，即t=2时，f(x)与直线t-1=1仅有一个交点（即f(x)的最小值处），与直线t+1=3有两个交点（分别位于y轴的左右两侧），这样就一共有三个交点
综上：
t=2
（y=f(x)与直线y=t-1、y=t+1的示意图草图如下）。收起
