高手帮忙求解一道数学题
I=∫{L}{1/y[1+y^2f(xy)]dx+x/y^2[-1+y^2f(xy)]dy}
记偏导符号为δ
1。δ{1/y[1+y^2f(xy)]}/δy=
=-1/y^2[1+y^2f(xy)]+1/y[2yf(xy)+xy^2f’(xy)]=
=f(xy)-1/y^2+xyf’(xy)
δ{x/y^2[-1+y^2f(xy)]}/δx
=1/y^2[-1+y^2f(xy)]+x/y^2[y^3f’(xy)]=
=f(xy)-1/y^2+xyf’(xy)
==》
δ{1/y[1+y^2f(xy)]}/δy=δ{x/y^2[-1+y^2f(xy)]}/δx
所以在上半平面的积分与路径无关...全部
I=∫{L}{1/y[1+y^2f(xy)]dx+x/y^2[-1+y^2f(xy)]dy}
记偏导符号为δ
1。δ{1/y[1+y^2f(xy)]}/δy=
=-1/y^2[1+y^2f(xy)]+1/y[2yf(xy)+xy^2f’(xy)]=
=f(xy)-1/y^2+xyf’(xy)
δ{x/y^2[-1+y^2f(xy)]}/δx
=1/y^2[-1+y^2f(xy)]+x/y^2[y^3f’(xy)]=
=f(xy)-1/y^2+xyf’(xy)
==》
δ{1/y[1+y^2f(xy)]}/δy=δ{x/y^2[-1+y^2f(xy)]}/δx
所以在上半平面的积分与路径无关。
2。当ab=cd=k。
由1。得,可取L={xy=k}={x=t,y=k/t}
==》I=
=∫{a-》c}{(t/k)[1+(k/t)^2f(k)]dt+
t^3/k^2[-1+(k/t)^2f(k)](-kdt/t^2}=
=2/k∫{a-》c}[tdt]=1/k[c^2-a^2]。
。收起