一道数学压轴题已知函数f(x)=
已知函数f(x)=alnx-bx^2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
(1)求a,b的值；
f(x)=alnx-bx^2
所以，f'(x)=(a/x)-2bx
那么，在点P(2，f(2))处切线的斜率为k=f'(2)=(a/2)-4b
已知在点P的切线为y=-3x+2ln2+2
所以，f'(2)=(a/2)-4b=-3…………………………………………（1）
点P(2,f(2))在f(x)和切线上，所以：
f(2)=aln2-4b=-3*2+2ln2+2
===> aln2-4b=2ln2-4………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到，...全部
已知函数f(x)=alnx-bx^2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
(1)求a,b的值；
f(x)=alnx-bx^2
所以，f'(x)=(a/x)-2bx
那么，在点P(2，f(2))处切线的斜率为k=f'(2)=(a/2)-4b
已知在点P的切线为y=-3x+2ln2+2
所以，f'(2)=(a/2)-4b=-3…………………………………………（1）
点P(2,f(2))在f(x)和切线上，所以：
f(2)=aln2-4b=-3*2+2ln2+2
===> aln2-4b=2ln2-4………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到，a=2，b=1
(2)若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
由前面知，f(x)=2lnx-x^2
则,f(1/e)=-2-(1/e^2)，f(e)=2-e^2
所以，0＞f(1/e)＞f(e)……………………………………（1）
当，f'(x)=(2/x)-2x=(2-2x^2)/x=2(1-x^2)/2
所以，f'(x)=0时，x=1，或者x=-1
所以：
当x∈[1/e,1)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当x∈(1,e]时，f'(x)＜0，函数f(x)递减。
所以，当x∈[1/e,e]时，f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-1
方程f(x)+m=0 ===> f(x)=-m在x∈[1/e,e]上有两个实数根，即说明函数y=f(x)与直线y=-m在[1/e,e]上有两个交点
所以，f(1/e)≤-m＜-1
===> 1＜m≤-f(1/e)
===> 1＜m≤2+(1/e^2)
(3)令g(x)=f(x)-kx,若g(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(其中x1 2lnx1-x1^2-kx1=2lnx2-x2^2-kx2
===> 2(lnx1-lnx2)=x1^2-x2^2+kx1-kx2=(x1+x2+k)*(x1-x2)
===> [2(lnx1-lnx2)/(x1-x2)]-k=x1+x2
===> (x1+x2)/2=[2(lnx1-lnx2)-k(x1-x2)]/[2(x1-x2)]
因为点C为AB中点，所以：xo=(x1+x2)/2
g(x)=2lnx-x^2-kx
===> g'(x)=(2/x)-2x-k=(2-2x^2-kx)/x=[2(1+x)*(1-x)-kx]/x
所以，g'(xo)=……
【中间过程略去】
最后可以得到，g'(xo)≠0。
收起
