什么数是有理数？

什么数是有理数？

有理数 有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数。包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 如3，-98。11，5。72727272……，7/22都是有理数。 有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。 全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。 有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。 有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：...全部

  有理数 有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数。包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
   如3，-98。11，5。72727272……，7/22都是有理数。 有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。 全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
   有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。 有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）： ①加法的交换律 a+b=b+a； ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c； ③存在数0，使 0+a=a+0=a； ④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0； ⑤乘法的交换律 ab=ba； ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； ⑦分配律 a(b+c)=ab+ac； ⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a； ⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
   此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。 有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
   值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。
  中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。
  所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。 无理数 无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。
   如圆周率、2的平方根等。 ·无理数与有理数的区别： 1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4=4。0, 4/5=0。8, 1/3=0。
  33333……而无理数只能写成无限不循环小数, 比如√2=1。414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。 2、所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能。
  根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。 利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
   证明：假设√2不是无理数，而是有理数。 既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q 又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数。
   把 √2=p/q 两边平方 得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2 由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m 由 2(q^2)=4(m^2) 得 q^2=2m^2 同理q必然也为偶数，设q=2n 既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。
  这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。 。收起