关于级数收敛的问题对于积分这种题
1)
(1)
∫{0→+∞}|sinx|dx/x^(1/2)≥
≥∫{0→π}|sinx|dx/x^(1/2)+[∫{π→2π}|sinx|dx]/(π)^(1/2)+
+。。。+[∫{nπ→(n+1)π}|sinx|dx]/(nπ)^(1/2)+。 。=
≥∫{0→π}|sinx|dx/x^(1/2)[1+1/(2)^(1/2)+
+。。。+1/(n)^(1/2)+。。]=+∞
==>
∫{0→+∞}sinxdx/x^(1/2)非绝对收敛。
(2)
Lim{x→0+}sinx/x^(1/2)=0
==>
∫{0→π}sinxdx/x^(1/2)收敛。
∫{0→M}sinxdx/x^...全部
1)
(1)
∫{0→+∞}|sinx|dx/x^(1/2)≥
≥∫{0→π}|sinx|dx/x^(1/2)+[∫{π→2π}|sinx|dx]/(π)^(1/2)+
+。。。+[∫{nπ→(n+1)π}|sinx|dx]/(nπ)^(1/2)+。
。=
≥∫{0→π}|sinx|dx/x^(1/2)[1+1/(2)^(1/2)+
+。。。+1/(n)^(1/2)+。。]=+∞
==>
∫{0→+∞}sinxdx/x^(1/2)非绝对收敛。
(2)
Lim{x→0+}sinx/x^(1/2)=0
==>
∫{0→π}sinxdx/x^(1/2)收敛。
∫{0→M}sinxdx/x^(1/2)=
=∫{0→π}sinxdx/x^(1/2)+∫{π→M}sinxdx/x^(1/2)=
=∫{0→π}sinxdx/x^(1/2)-cosM/M^(1/2)-1/M^(1/2)-
-(1/2)∫{π→M}cossxdx/x^(3/2)
而∫{π→+∞}cossxdx/x^(3/2)收敛。
==>
∫{0→+∞}sinxdx/x^(1/2)=∫{0→π}sinxdx/x^(1/2)-
-(1/2)∫{π→+∞}cossxdx/x^(3/2)条件收敛。
2)
在(0,1)上有:
0≤sinx/[x-x^2]^(1/2)≤1/[1-x]^(1/2)
而
∫{0→1}dx/[1-x]^(1/2)显然收敛
==>
∫{0→1}sinxdx/[x-x^2]^(1/2)绝对收敛。
。收起
