排列组合问题441.1.2
四面体的顶点A、B、C、D，
六条棱DA、DB、DC、BC、CA、AB的中点分别是P、Q、R、E、F、G。
在这10点中取四个不共面的点，必可构成一个四面体。
1。以大四面体ABCD四个顶点为顶点的四面体就是其中的第1种取法。
2。以大四面体ABCD中三个顶点为顶点，有C(4,3)=4种取法。
例如三个顶点为A、B、C，则第四个顶点只能六个中点里的P或Q或R，C(3,1)=3种取法。
所以这种情况下有C(4,3)*C(3,1)=12种取法。
3。以大四面体ABCD中两个顶点为顶点，有C(4,2)=6种取法。
例如两个顶点为A、B。
则第三、四个顶点只能是在六个中点里的P、Q、R、E...全部
四面体的顶点A、B、C、D，
六条棱DA、DB、DC、BC、CA、AB的中点分别是P、Q、R、E、F、G。
在这10点中取四个不共面的点，必可构成一个四面体。
1。以大四面体ABCD四个顶点为顶点的四面体就是其中的第1种取法。
2。以大四面体ABCD中三个顶点为顶点，有C(4,3)=4种取法。
例如三个顶点为A、B、C，则第四个顶点只能六个中点里的P或Q或R，C(3,1)=3种取法。
所以这种情况下有C(4,3)*C(3,1)=12种取法。
3。以大四面体ABCD中两个顶点为顶点，有C(4,2)=6种取法。
例如两个顶点为A、B。
则第三、四个顶点只能是在六个中点里的P、Q、R、E、F中C(5,2)=10种取法。但是由于其中P、Q、A、B,E、F、A、B这两组四点共面的选择需要排除在外。
从而这种情况下有6*(10-2)=48种取法。
4。以大四面体ABCD中一个顶点为顶点，有C(4,1)=4种取法。
例如取D。
则另外三个顶点可以在六个中点里的P、Q、R、E、F、G任取3个，C(6,3)=20种取法。
但是D、P、Q、G, D、Q、E、R，D、R、F、P三组分别共面需要排除在外。
从而这种情况下有4*(20-3)=68种取法。
5。所构成的四面体的四个顶点都不是大四面体ABCD的顶点。
则另外四个顶点全在六个中点里，共有C(6,4)=15种取法。但是由于其中P、Q、E、F，Q、R、F、G，G、E、R、P，这三组四点共面的选择需要排除在外。
从而这种情况下有15-3=12种取法。
所以总共有：1+12+48+68+12=141种不同的取法。
。收起
