数学高考题四面体的一个定点为A 从其他顶点与各棱重点中取3个点 使他们和点A同一平面 不同的取法有多少种
请详细解答
混乱阿。个人觉得是问你有多少种取法，实际上是在问4个顶点和6个中点一共可以组合出多少不同的平面数目。你的第4个不确定的点必须落在这些平面上才能保证4点共面。否则你的取法就是没有意义的。因此：
四面体的四个面：4个平面。
每个棱的中点和对应的棱组成的平面：6个平面。
每个面的中位平面（三个棱中点组成）：4个平面。
每个面的中位线和对应的顶点组成的平面：3*4＝12个平面
仅此而已，一共4+6+4+12＝26个。
换一个想法：因为点一共有2种，顶点和中点。
全是顶点：4面体的4个面
全是中点：4面体的4个中位平面
2个顶点一个中点：4面体的6个平均分割面（取与此中点在同一个面上的顶点无...全部
混乱阿。个人觉得是问你有多少种取法，实际上是在问4个顶点和6个中点一共可以组合出多少不同的平面数目。你的第4个不确定的点必须落在这些平面上才能保证4点共面。否则你的取法就是没有意义的。因此：
四面体的四个面：4个平面。
每个棱的中点和对应的棱组成的平面：6个平面。
每个面的中位平面（三个棱中点组成）：4个平面。
每个面的中位线和对应的顶点组成的平面：3*4＝12个平面
仅此而已，一共4+6+4+12＝26个。
换一个想法：因为点一共有2种，顶点和中点。
全是顶点：4面体的4个面
全是中点：4面体的4个中位平面
2个顶点一个中点：4面体的6个平均分割面（取与此中点在同一个面上的顶点无意义，重复了）
2个中点一个顶点：4面体的4分之一分割面，每个面有3个，共12个。
（取与此2中点在同一个面上的顶点无意义，重复了）
合计4+4+6+12＝26个。
漏掉了一部分。。。。。3个中点的另一种切割方式，实际上4个中点组成的平行于棱的平均分割面，由2个平行的面的中线组成，一个有6个棱，每个面与两个棱平行，因此一共有3种。
总数目应该是26+3＝29种。。。。。。原谅我的疏忽。
问题改了？那就简单了。前面的思路仍然有效，麻烦的3中点问题被取消了。。。。
A点在3个不同的四面体的面上。每个面上除了A，还有3个中点2个顶点。
C(5,3)＝10，因此这3个面共有3*10＝30种方法。这是前面讨论的3顶点问题。
除此之外，上面讨论的1个顶点2个中点的情况，这种情况没有可能有第4个点。。。数目为0。
剩下的就是2个顶点和一个中点了。
。。。2个顶点之间必然还有一个中点，因此加上与此棱成异面直线的棱上的中点所组成的这个面上，是有4个点的，而且与前面的讨论不重复。这种情况有3种啊。AB，AC，AD一共3个棱么。所以答案应该是33了。
。收起
