已知椭圆焦点为F1

已知椭圆焦点为F1,F2,椭圆上有一点P,角F1PF2= 60 度,求离心率的范围

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2005-11-27

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设P点坐标为(x,y),则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,则三角形F1PF2中 cos60=1/2=(|PF1|^2+|PF2|^2-4c^2)/(2|PF1|*|PF2|), 由此解得:x^2=(4c^2-a^2)/3e^2,因为x属于(-a,a),x^2属于[0,a^2) (4c^2-a^2)/3e^2属于[0,a^2),由此解得e大于等于1/2,又因为e属于(0,1) 所以e的范围是[1/2,1) 。

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1***

2005-11-29

120 0

解：根据椭圆的定义：定长=2a,焦距F1F2=2c,在三角形F1PF2中设PF1=a+x,PF2=a-x,x属于[0,a),（p点不可能在F1F2所在直线上，所以x不能为a),利用余玄定理， (2c)^2=(a+x)^2+(a-x)^2-2(a+x)(a-x)cos60, 所以 x^2=(4c^2-a^2)/3, 0<=x^2<a^2, 0<=(4c^2-a^2)/3<a^2,e=c/a,1/4<=e^<1,e属于[1/2，1)。
(这是用平面几何的方法解题）。

提交

金***

2005-11-27

112 0

已知椭圆焦点为F1,F2,椭圆上有一点P,角F1PF2= 60 度,求离心率的范围设椭圆为：(x/a)^2 +(y/b)^2=1 设P为(m,n),则PF1=a+em ,PF2=a-em 因为(2c)^2 = (a+em)^2+(a-em)^2-2(a+em)(a-em)*cos60° (余弦定理）所以4c^2 = 2a^2 + 2(em)^2 -a^2+(em)^2 即4c^2 ＝a^2 +3(em)^2 因为m^2＜a^2 所以4c^2＜a^2 +3e^2*a^2 ,即4e^2≤1+3e^2 解得：e^2＜1　，0＜e＜1 （椭圆的离心率没其它限制）。
。

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