已知椭圆与双曲线,若椭圆的顶点恰为双曲线的焦点,椭圆的焦点恰为双曲线的顶点.()...
利用椭圆,双曲线的标准方程与性质即可得出;假设存在一个以原点为圆心的圆满足条件,利用直线与椭圆相交得到根与系数的关系,再利用直线与圆相切的性质及垂直与数量积的关系即可得出。 解:由双曲线,得焦点,顶点。 椭圆的顶点恰为双曲线的焦点,,,。椭圆的方程为;假设存在一个以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,,且。当切线的斜率存在时,设的方程为,与椭圆的两个交点,。联立,消去得到关于的方程,必须满足...全部
利用椭圆,双曲线的标准方程与性质即可得出;假设存在一个以原点为圆心的圆满足条件,利用直线与椭圆相交得到根与系数的关系,再利用直线与圆相切的性质及垂直与数量积的关系即可得出。 解:由双曲线,得焦点,顶点。
椭圆的顶点恰为双曲线的焦点,,,。椭圆的方程为;假设存在一个以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,,且。当切线的斜率存在时,设的方程为,与椭圆的两个交点,。联立,消去得到关于的方程,必须满足,即。
,。直线与圆,,化为。,。又,。代入上式得,把代入上式得,化为,满足式。由可得。因此此时存在满足条件的圆为。当切线的斜率不存在时,也满足上述方程。综上可知:存在一个以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,,且。
熟练掌握椭圆,双曲线的标准方程与性质,直线与椭圆相交得到根与系数的关系,直线与圆相切的性质,垂直与数量积的关系是解题的关键。
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