已知函数函数在区间上为增函数
把和的解析式代入中得到的解析式,求出,由已知函数为增函数得到当大于时导函数恒大于等于,解出大于等于一个函数,求出这个函数的最大值,列出关于的不等式,求出的范围即可;令,根据此方程有唯一的正实数解得到,求出的值,求出,分解因式并把各项列举出来,当大于等于时,利用二项式定理判断导函数的正负即可得到函数的单调性,根据函数的增减性得到函数的最小值为;把等于代入函数解析式中得到的值也符合最小值的代数式,综上得到当大于等于时函数的最小值;根据得到的最小值为,当大于等于时求出倒数即可得到小于等于,又放大不等式得到其值小于等于,同时等于等于,列举出不等式的左边各项,利用推出的不等式和等比数列的求和公式得证...全部
把和的解析式代入中得到的解析式,求出,由已知函数为增函数得到当大于时导函数恒大于等于,解出大于等于一个函数,求出这个函数的最大值,列出关于的不等式,求出的范围即可;令,根据此方程有唯一的正实数解得到,求出的值,求出,分解因式并把各项列举出来,当大于等于时,利用二项式定理判断导函数的正负即可得到函数的单调性,根据函数的增减性得到函数的最小值为;把等于代入函数解析式中得到的值也符合最小值的代数式,综上得到当大于等于时函数的最小值;根据得到的最小值为,当大于等于时求出倒数即可得到小于等于,又放大不等式得到其值小于等于,同时等于等于,列举出不等式的左边各项,利用推出的不等式和等比数列的求和公式得证。
解:,。由已知,当时,恒成立推出。
易求当时,函数的最大值为,,解得;,即有唯一正实数解。由知,解得。,当时,由二项式定理知。当时,,即函数在上递减。当时,,即函数在上递增。当时,函数的最小值为。又当时,函数的最小值为;。
当时, 此题考查学生会利用导函数的正负确定原函数的单调区间,会根据函数的增减性求出函数的最值,掌握导数在函数最值中的应用,灵活运用二次项定理及等比数列的前项和的公式化简求值,是一道比较难的题。收起
