基数问题2

证明，所有几何曲线的数目是第三级

　　解答： 　　我觉得您提的这个问题很有意思，值得深思。就是问题提法有点不太严谨。 　　因为您在要证明“所有几何曲线的数目是第三级的无穷”时，已经假定线段、平面、立方体上所有的点数是“第二级的无穷”。 实际上，证明“所有（线段/平面/立方体上）点的数目是第二级的无穷”和证明“所有几何曲线的数目是第三级的无穷”具有相同难度。 　　相对比较正规的说法是： “实数集中每一个无穷子集，要么和整数集有相同的基数，要么和实数集有相同的基数。 ”--------(1) “空间几何曲线集中每一个无穷子集，如果其基数不小于实数基数，则要么和实数集有相同的基数，要么和空间几何曲线集有相同的基数。”----...全部

  　　解答： 　　我觉得您提的这个问题很有意思，值得深思。就是问题提法有点不太严谨。 　　因为您在要证明“所有几何曲线的数目是第三级的无穷”时，已经假定线段、平面、立方体上所有的点数是“第二级的无穷”。
  实际上，证明“所有（线段/平面/立方体上）点的数目是第二级的无穷”和证明“所有几何曲线的数目是第三级的无穷”具有相同难度。 　　相对比较正规的说法是： “实数集中每一个无穷子集，要么和整数集有相同的基数，要么和实数集有相同的基数。
  ”--------(1) “空间几何曲线集中每一个无穷子集，如果其基数不小于实数基数，则要么和实数集有相同的基数，要么和空间几何曲线集有相同的基数。”--------(2) 　　问题(1)与连续统假设问题（不存在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合，简称CH）等价，CH是1900年，在第二次世界数学家大会上，希尔伯脱先生提出了著名的二十三个未解决的数学问题中的第一个问题，一百多年的时间过去了，有许多的问题业已获得了解决。
  然而，名列二十三个问题之首位的连续统假设之问题，迄今为止，仍被束之高阁，未能获得彻底解决。 连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH）（其中，当α=0时就是CH），问题(2)与GCH的特殊情况（α=1）等价。
   虽然连续统假设未能获得彻底解决，但这方面研究成果是巨大的。下面简单介绍一下研究得出的结论： 　　库尔特•哥德尔在1940年证明，在ZFC系统（大家都在用的集合论系统）下推不出GCH的否命题，也就是说，如果ZFC没矛盾，ZFC加上GCH也不会有矛盾。
   　　鲍尔•约瑟夫•科恩用力迫法证明，在ZFC系统下推不出CH，也就是说，如果ZFC没矛盾，ZFC加上CH的否命题也不会有矛盾。（后来证明，这个结论对于GCH也是成立的） 　　综合上述，在现所用的集合论系统下，既不可能证明您提的问题正确，也不可能证明您提的问题错误。
  （举个不是很适合的例子，在现所用的欧氏几何中，如果没有平行公理或第五公设，就证不出三角形三内角之和=180°，也证不出三角形三内角之和≠180°） 　　以上是数学理论上得出的结果，我觉得问题并不那么简单，有值得深思的地方。
  如：现实世界中连续统假设到底成立还是不成立？我认为整数和实数是坚实可靠的，所以我总觉得连续统假设（至少是CH ）一定能够最后判定真伪，而不是无法判定，当然这只是一个业余的集合论爱好者的想法了。
   　　反正，就此问题打赌的话（当然，上帝知道答案），我愿意赌CH不成立。 。收起