证明:所有将“有理数集”(R)映射到“有理数集”(R)的函数的集合(S)与 有理数集中所有子集的集合(T) 具有相同基数 (提示:一个函数对应其图像)
对于此题:
S={f:Q-->Q 为函数}
T={Q的子集}
根据有限集合的相关结论不难推广到无限集合上去。
设 f:A-->B为映射,|A|=n,|B|=m,则
所有f:A-->B映射的个数为m^n 【m的n次幂】,
这是因为集合A中,每个元素都存在像,且每个元素的像的可能性都有m中。
又集合A的子集个数为2^n 【2的n次幂】。
因此集合S的基数为阿列夫零的阿列夫零次幂即阿列夫。
集合T的基数为 2 的阿列夫零次幂也即是阿列夫。
所以它们具有相同的基数。
我还是要构造,再用康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理, 构造的方法也类似。只要在构造g时用到有理数的循环节性质就可以了。
设“有理数集”(Q)到“有理数集”(Q)的函数f的值域为Qf, 对于每一个有理数q,可能属于Qf,也可能不属于Qf, ∴所有Qf的势=2的阿列夫零次幂=阿列夫1, 有理数集中所有子集的集合(T) 的势=阿列夫1, ∴命题成立。