求最小值

证明题已知实数a、b、c满足a+

1＝(a+b+c)^2 ＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ＝1+2(ab+bc+ca) →ab+bc+ca＝0 →(ab+bc+ca)^2＝0 →a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 ＝-2(ab^2c+abc^2+a^2bc) ＝-2abc(a+b+c) ＝-2abc →a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2＝-2abc。 ∴1＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) ＝a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) ＝a^3+b^3+c^3-3abc →a^3+b^3+c^3＝1+3abc。 ∴1+3abc＝(a^3+b^3+c^...全部

  1＝(a+b+c)^2 ＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ＝1+2(ab+bc+ca) →ab+bc+ca＝0 →(ab+bc+ca)^2＝0 →a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 ＝-2(ab^2c+abc^2+a^2bc) ＝-2abc(a+b+c) ＝-2abc →a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2＝-2abc。
   ∴1＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) ＝a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) ＝a^3+b^3+c^3-3abc →a^3+b^3+c^3＝1+3abc。
   ∴1+3abc＝(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2) ＝a^5+b^5+c^5+a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a) ＝a^5+b^5+c^5+a^2b^2(1-c)+b^2c^2(1-a)+c^2a^2(1-b) ＝a^5+b^5+c^5+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-abc(ab+bc+ca) ＝a^5+b^5+c^5-2abc →a^5+b^5+c^5＝1+5abc。
   (1)abc＝0时，显然有 a^5+b^5+c^5＝1+5abc＝1。 (2)abc≠0时，由已知条件知a、b、∈(-1,1)。 注意上面得出的ab+bc+ca＝0及a+b+c＝1,知 ab＝-c(a+b)＝-c(1-c), 同理，bc＝-a(1-a),ca＝-b(1-b)。
   三式相乘，得 a^2b^2c^2＝-abc(1-a)(1-b)(1-c)>0。 注意到-(1-a)(1-b)(1-c)<0,知abc<0。 ∴a^5+b^5+c^5＝1+5abc<1。 综上知，a^5+b^5+c^5≤1成立。
  收起