abc为正实数求[(a+b)^2+(a+b+4c)^2](a+b+c

abc为正实数求[(a+b)^2+(a+b+4c)^2](a+b+c)a、b、c为正实数,求[(a+b)^2+(a+b+4c)^2](a+b+c)/abc的最小值.

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2010-04-20

0 0

解:由均值不等式,得 (a+b)^2+(a+b+4c)^2 =(a+b)^2+[(a+2c)+(b+2c)]^2 >=(2根ab)^2+[2(根(2ab))+2(根(2bc))]^2 =4ab+8ac+8bc+16c根(ab) 于是,[(a+b)^2+(a+b+4c)^2](a+b+c)/abc >=[4ab+8ac+8bc+16c(ab)](a+b+c)/abc =(4/c+8/b+8/a+16/根ab)(a+b+c) =8(1/2c+1/b+1/a+1/根ab+1/根ab)(a/2+a/2+b/2+b/2+c) >=8[5(1/2a^2b^2c)^(1/5)]×[5(a^2b^2c/2^4)^(1/5)]=100 当且仅当a=b=2c>0时,上式取等号, 故原式最小值为100。
。

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m***

2010-04-20

53 0

设a、b、c为正实数,求[(a+b)^2+(a+b+4c)^2](a+b+c)/abc的最小值。最小值为100。即证 [(a+b)^2+(a+b+4c)^2](a+b+c)≥100abc (1) 下证更强式 [(a+b)^2+(a+b+4c)^2](a+b+c)≥25c(a+b)^2 (2) (2)式展开为 16c^3+24(a+b)c^2-15c(a+b)^2+2(a+b)^3≥0 (3) (3)式分解为: (c+2a+2b)*(4c-a-b)^2≥0 显然成立。
当4c=a+b时,(2)式取等号。当a:b:c=2:2:1时,(1)式取等号。。

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