不等式!已知正实数a,b,c满足
由均值不等式,得
a²b²+b²c²≥2ab²c
b²c²+c²a²≥2abc²
c²a²+a²b²≥2a²bc
即a²b²+b²c²+c²a²≥ab²c+abc²+a²bc
∴(ab+bc+ca)²=a²b²+b²c²+c²a²+2ab²c+2a²bc+2bc&s...全部
由均值不等式,得
a²b²+b²c²≥2ab²c
b²c²+c²a²≥2abc²
c²a²+a²b²≥2a²bc
即a²b²+b²c²+c²a²≥ab²c+abc²+a²bc
∴(ab+bc+ca)²=a²b²+b²c²+c²a²+2ab²c+2a²bc+2bc²a
≥3(ab²c+abc²+a²bc)=3(a+b+c)abc。
从而有a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)≥a²+b²+c²+2√[3(a+b+c)abc]
即 (a+b+c)²≥a²+b²+c²+2√[3(a+b+c)abc]
又a+b+c=1
∴a²+b²+c²+2√(3abc)≤1
∴最大值为1,仅当a=b=c=1/3时,取等号。
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