设正实数a、b、c满足abc=1
求证:对于整数k＞=2,恒有a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)＞=3/2.
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证明：
由均值不等式,得
a^k/(a+b)+(a+b)/4+1/2+1/2+。。。+1/2≥k*(a^k/2^k)^(1/k)
=ka/2
所以,
a^k/(a+b)≥kb/2-(a+b)/4-(k-2)/2 。
。。。。。(1) 同理,有 b^k/(b+c)≥kb/2-(b+c)/4-(k-2)/2 。 。。 。。(2) c^k/(c+a)≥kc/2-(c+a)/4-(k-2)/2 。
。。。。。(3) 由(1)+(2)+(3)得 a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a) ≥k(a+b+c)/2-(a+b+c)/2-3(k-2)/2 =(k-1)(a+b+c)/2-3(k-2)/2 ≥(k-1)/2*3(abc)^(1/3)-3(k-2) =3/2。
故命题得证。
。。。。。(1) 同理,有 b^k/(b+c)≥kb/2-(b+c)/4-(k-2)/2 。 。。 。。(2) c^k/(c+a)≥kc/2-(c+a)/4-(k-2)/2 。
。。。。。(3) 由(1)+(2)+(3)得 a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a) ≥k(a+b+c)/2-(a+b+c)/2-3(k-2)/2 =(k-1)(a+b+c)/2-3(k-2)/2 ≥(k-1)/2*3(abc)^(1/3)-3(k-2) =3/2。
故命题得证。
a^k/(a+b)=[a^k+a^(k-1)b-a^(k-1)b]/(a+b)
=a^(k-1)-a^(k-1)b/(a+b)
=a^(k-1)-a^(k-2)ab/(a+b)
≥a^(k-1)-a^(k-2)(a+b)/4
=3a^(k-1)/4-a^(k-2)b/4
类似可得另外两式，于是
a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)
≥3[a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)]/4
-[a^(k-2)b+b^(k-2)c+c^(k-2)a]/4
而a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)≥a^(k-2)b+b^(k-2)c+c^(k-2)a
可以由排序不等式证明！
所以有
a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)
≥[a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)]/2
≥3[a^(k-1)b^(k-1)c^(k-1)]^(1/3)/2
=3/2。
。
。
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