设正实数a,b,c满足a+b+c≤4
证明如下：
a+b+c≤4(两边平方）
==>(a+b+c)^2a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-（ab+bc+ca)-3（ab+bc+ca)2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^22，?|b-c?|>2，?|c-a?|>2
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=?|a-b?|^2+?|b-c?|^2+?|c-a?|^2
==>?|a-b?|^2+?|b-c?|^2+?|c-a?|^2>12(与已知的矛盾，不成立）
ii）设：?|a-b?|≤2，?|b-c?|≤2，?|c-a?|≤2。 中只有一个成立，即：?|...全部
证明如下：
a+b+c≤4(两边平方）
==>(a+b+c)^2a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-（ab+bc+ca)-3（ab+bc+ca)2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^22，?|b-c?|>2，?|c-a?|>2
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=?|a-b?|^2+?|b-c?|^2+?|c-a?|^2
==>?|a-b?|^2+?|b-c?|^2+?|c-a?|^2>12(与已知的矛盾，不成立）
ii）设：?|a-b?|≤2，?|b-c?|≤2，?|c-a?|≤2。
中只有一个成立，即：?|a-b?|>2，?|b-c?|>2，?|c-a?|≤2
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=?|a-b?|^2+?|b-c?|^2+?|c-a?|^2
>?|a-b?|^2+?|b-c?|^2>8,(与已知的矛盾，不成立）
所以三个不等式中至少有两个成立，?|a-b?|≤2，?|b-c?|≤2，?|c-a?|≤2。
。收起
