高中数学不等式问题正实数a、b、
设
x=（13a+1）
y=（13b+1）
z=（13c+1）
=>
x+y+z=16
x,y,z>1
下证：
√x +√y > 1 + √(x+y-1)(分析法)
（两边平方）
2√xy > 2√(x+y-1)
xy-x-y+1>0
(x-1)(y-1)>0 显然成立
同理：
√（x+y-1) + √z > 1 + √(x+y+z-2)
( (z-1)(x+y-1-1)>0)
所以
√x+√y+√z
> 1+√x+y-1 +√z
> 1 + 1 + √(x+y+z-2)= 2 +√14
即√(13a+1)+ √(13b+1)+ √(13c+1)>2 +√14
[√(13a+1)+ √(1...全部
设
x=（13a+1）
y=（13b+1）
z=（13c+1）
=>
x+y+z=16
x,y,z>1
下证：
√x +√y > 1 + √(x+y-1)(分析法)
（两边平方）
2√xy > 2√(x+y-1)
xy-x-y+1>0
(x-1)(y-1)>0 显然成立
同理：
√（x+y-1) + √z > 1 + √(x+y+z-2)
( (z-1)(x+y-1-1)>0)
所以
√x+√y+√z
> 1+√x+y-1 +√z
> 1 + 1 + √(x+y+z-2)= 2 +√14
即√(13a+1)+ √(13b+1)+ √(13c+1)>2 +√14
[√(13a+1)+ √(13b+1)+ √(13c+1)]^2
=13（a+b+c)+3
+2[√(13a+1)√(13b+1)+ √(13a+1)√(13c+1)+ √(13b+1)√(13c+1)
=16+2{√[169ab+13(a+b)+1] + √[169ac+13(a+c)+1] +
√[169bc+13(b+c)+1]
因为a,b,c>0，所以a+b＞2√ab a+c＞2√ac b+c ＞2√bc
ab<[(a+b)/2]^2 ac<[(a+c)/2]^2 bc<[(b+c)/2]^2
上式<16+2{[13(a+b)/2 + 1]+[13(a+c)/2 +1}]+[13(b+c)/2 +1]}
<16+2[13(a+b+c)+3]
<48
所以√(13a+1)+ √(13b+1)+ √(13c+1)<4√3
综上2 +√14<√(13a+1)+ √(13b+1)+ √(13c+1)<4√3
。
收起
