设a,b,c为正实数,且满足abc=1,证明(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<1
设a,b,c为正实数,且满足abc=1,证明(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤1。
如果(a-1+1/b)、(b-1+1/c)、(c-1+1/a)都大于0,
只要用几何平均值不会超过算术平均值:即对任正数x、y、z,有:
xyz≤[(x+y+z)/3]^3
因为(a-1+1/b)+(b-1+1/c)+(c-1+1/a)=(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)-3≥2+2+2-3=3
所以(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤(3/3)^3=1;
如果(a-1+1/b)、(b-1+1/c)、(c-1+1/a)中有一个小于0或三个都小于0,则乘积
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)是负数,不等式成立;
那么(a-1+1/b)、(b-1+1/c)、(c-1+1/a)中是否可能恰有两个小于0呢?下面证明是不可能的:
不妨设a-1+1/b<0,b-1+1/c<0,即0<a+1/b<1,0<b+1/c<1同时成立(因为a,b,c都是正数,上面两个不等式的左端显然是成立的),即
0<a+1/b=a+abc/b=a+ac<1,0<b+1/c=b+abc/c=b+ab<1同时成立,就有
0<(a+ac)(b+ab)<1,即0<ab+aab+abc+aabc=ab+aab+1+aabc<1,
从而有ab+aab+aabc<0与a,b,c都是正数矛盾,于是得证。
综上所述,在所给条件下,不等式(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤1成立。
1.I=(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)=(ab-b+1)/b(b-1+ab)(1/ab-1+1/a)=
=(ab-b+1)(b-1+ab)(1-ab+b)/(ab^2)
ab-b+1,b-1+ab,1-ab+b,3项中至少有2个>0,若有1项<0,
则I≤0<1。
2.设ab-b+1≥0,b-1+ab≥0,1-ab+b≥0
由ab和b的对称性可设ab≤b,==》1≥1-ab+b≥0,b-1+ab≥0。
设A= b-1+ab,B=-ab+b==》1≥B≥0,A≥0==》
b=(A+B+1)/2,ab=(A-B+1)/2==》
I=4A(1-B^2)/(A+B+1)(A-B+1)则
I≤1《==》4A(1-B^2)≤(A+B+1)(A-B+1)=A^2+2A+1- B^2
《==》B^2(1- 4A)≤(A-1)^2 (1)
3.A ≥1/4==》B^2(1- 4A)≤0≤(A-1)^2。
4.0≤A ≤1/4==》B^2(1- 4A)≤1- 4A≤1-2A+A^2=(A-1)^2
所以不等式(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a) ≤1成立。
a=b=c=1,等式成立。
。