求助一不等式证明
设a,b,c为正实数,且满足:ab+bc+ca+abc=4. 试证 a^(1/2)+b^(1/2)+c^(1/2)＞=(abc+8)^(1/2)
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设a,b,c为正实数,且满足:ab+bc+ca+abc=4。
试证 a^(1/2)+b^(1/2)+c^(1/2)>=(abc+8)^(1/2) (1)
证明 设x,y,z为正实数。
根据题设条件,令 a=2x/(y+z),b=2y/(z+x),c=2z/(x+y)。 所以所证不等式转化为 Σ√[x/(y+z)]≥2√[Σx*Σyz/(y+z)(z+x)(x+y)] Σ√[x(x+y)(x+z)]≥2√[Σx*Σyz] (2) (2)两边平方得: Σ[x(x+y)(x+z)+2Σ(y+z)√[yz(x+y)(x+z)]≥4Σx*Σyz (3) 作置换:x→x^2,y→y^2,z→z^2,(3)式等价于 Σx^6+Σ(y^2+z^2)x^4+3(xyz)^2+2Σ(y^2+z^2)√[y^2z^2(x^2+y^2)(x^2+z^2)] ≥4Σx^2*Σ(yz)^2 由柯西不等式得: Σx^6+Σ(y^2+z^2)x^4+3(xyz)^2+2Σ(y^2+z^2)yz(x^2+yz)≥4Σx^2*Σ(yz)^2 Σx^6-Σ(y^2+z^2)x^4-9(xyz)^2+2xyzΣx(y^2+z^2)≥0 设x=min(x,y,z),分解得 x[x^3+(y+z)x^2+xyz+2yz(y+z)](x-y)(x-z) +[(y^2+z^2)(y+z)^2-x^2(y-z)^2](y-z)^2≥0 。
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根据题设条件,令 a=2x/(y+z),b=2y/(z+x),c=2z/(x+y)。 所以所证不等式转化为 Σ√[x/(y+z)]≥2√[Σx*Σyz/(y+z)(z+x)(x+y)] Σ√[x(x+y)(x+z)]≥2√[Σx*Σyz] (2) (2)两边平方得: Σ[x(x+y)(x+z)+2Σ(y+z)√[yz(x+y)(x+z)]≥4Σx*Σyz (3) 作置换:x→x^2,y→y^2,z→z^2,(3)式等价于 Σx^6+Σ(y^2+z^2)x^4+3(xyz)^2+2Σ(y^2+z^2)√[y^2z^2(x^2+y^2)(x^2+z^2)] ≥4Σx^2*Σ(yz)^2 由柯西不等式得: Σx^6+Σ(y^2+z^2)x^4+3(xyz)^2+2Σ(y^2+z^2)yz(x^2+yz)≥4Σx^2*Σ(yz)^2 Σx^6-Σ(y^2+z^2)x^4-9(xyz)^2+2xyzΣx(y^2+z^2)≥0 设x=min(x,y,z),分解得 x[x^3+(y+z)x^2+xyz+2yz(y+z)](x-y)(x-z) +[(y^2+z^2)(y+z)^2-x^2(y-z)^2](y-z)^2≥0 。
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