证明题已知实数a、b、c满足a+
1＝(a+b+c)^2
＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
＝1+2(ab+bc+ca)
→ab+bc+ca＝0
→(ab+bc+ca)^2＝0
→a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
＝-2(ab^2c+abc^2+a^2bc)
＝-2abc(a+b+c)
＝-2abc
→a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2＝-2abc。
∴1＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
＝a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
＝a^3+b^3+c^3-3abc
→a^3+b^3+c^3＝1+3abc。
∴1+3abc＝(a^3+b^3+c^...全部
1＝(a+b+c)^2
＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
＝1+2(ab+bc+ca)
→ab+bc+ca＝0
→(ab+bc+ca)^2＝0
→a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
＝-2(ab^2c+abc^2+a^2bc)
＝-2abc(a+b+c)
＝-2abc
→a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2＝-2abc。
∴1＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
＝a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
＝a^3+b^3+c^3-3abc
→a^3+b^3+c^3＝1+3abc。
∴1+3abc＝(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)
＝a^5+b^5+c^5+a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a)
＝a^5+b^5+c^5+a^2b^2(1-c)+b^2c^2(1-a)+c^2a^2(1-b)
＝a^5+b^5+c^5+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-abc(ab+bc+ca)
＝a^5+b^5+c^5-2abc
→a^5+b^5+c^5＝1+5abc。
(1)abc＝0时，显然有
a^5+b^5+c^5＝1+5abc＝1。
(2)abc≠0时，由已知条件知a、b、∈(-1,1)。
注意上面得出的ab+bc+ca＝0及a+b+c＝1,知
ab＝-c(a+b)＝-c(1-c),
同理，bc＝-a(1-a),ca＝-b(1-b)。
三式相乘，得
a^2b^2c^2＝-abc(1-a)(1-b)(1-c)>0。
注意到-(1-a)(1-b)(1-c)<0,知abc<0。
∴a^5+b^5+c^5＝1+5abc<1。
综上知，a^5+b^5+c^5≤1成立。
收起
