求圆方程
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0).以其焦点为顶点,以顶点为焦点画双曲线.椭圆与双曲线交点在同一圆上,求此圆方程
全部回答
设c=√(a^2-b^2),
双曲线的a'=c,c'=a,
∴b'^2=c'^2-a'^2=a^2-c^2=b^2,
∴它的方程为x^2/c^2-y^2/b^2=1,①
x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
② 设m/c^2+n/a^2=(n-m)/b^2,得 m(1/c^2+1/b^2)=n(1/b^2-1/a^2), ma^2/(b^2*c^2)=nc^2/(a^2*b^2), ∴m/n=c^4/a^4。
①*c^4+②*a^4,得 （c^2+a^2)(x^2+y^2)=c^4+a^4, ∴x^2+y^2=(a^4+c^4)/(a^2+c^2), 即x^2+y^2=[a^4+(a^2-b^2)^2]/(2a^2-b^2),为所求。
② 设m/c^2+n/a^2=(n-m)/b^2,得 m(1/c^2+1/b^2)=n(1/b^2-1/a^2), ma^2/(b^2*c^2)=nc^2/(a^2*b^2), ∴m/n=c^4/a^4。
①*c^4+②*a^4,得 （c^2+a^2)(x^2+y^2)=c^4+a^4, ∴x^2+y^2=(a^4+c^4)/(a^2+c^2), 即x^2+y^2=[a^4+(a^2-b^2)^2]/(2a^2-b^2),为所求。
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