圆锥曲线已知椭圆方程为x平方+y
已知椭圆方程为x＾+y＾/8=1，射线y=（2√2）x(x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A,B两点(异于M)
（1）求证直线AB的斜率为定值
（2）求三角形AMB面积的最大值
解： 椭圆为长轴在Y轴上的标准方程
a＾=8 b＾=1 c＾=√7
联立： x＾+y＾/8=1 y=（2√2）x (x≥0）
x=（√2/2） y=2
M（√2/2，2）
线段AM所在直线L斜率k， 方程为y-2=k（x-√2/2）
线段BM所在直线L1斜率k1，方程为y-2=k1（x-√2/2）
∵L，L1倾斜角互补 ∴k1=-k...全部
已知椭圆方程为x＾+y＾/8=1，射线y=（2√2）x(x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A,B两点(异于M)
（1）求证直线AB的斜率为定值
（2）求三角形AMB面积的最大值
解： 椭圆为长轴在Y轴上的标准方程
a＾=8 b＾=1 c＾=√7
联立： x＾+y＾/8=1 y=（2√2）x (x≥0）
x=（√2/2） y=2
M（√2/2，2）
线段AM所在直线L斜率k， 方程为y-2=k（x-√2/2）
线段BM所在直线L1斜率k1，方程为y-2=k1（x-√2/2）
∵L，L1倾斜角互补 ∴k1=-k
∴L1： y-2=-k（x-√2/2）
A（x1，y1） B（x2，y2）
联立： x＾+y＾/8=1 y-2=k（x-√2/2）
（8+k＾）x＾+[4k-（√2）k＾]x+（k＾/2）-2k√2-4=0
x1=[（√2）k＾-4k]/（8+k＾）-（√2/2）
y1=k[（√2）k＾-4k]/（8+k＾）-k√2+2
联立： x＾+y＾/8=1 y-2=-k（x-√2/2）
（8+k＾）x＾-[4k+（√2）k＾]x+（k＾/2）+2k√2-4=0
x2=[（√2）k＾+4k]/（8+k＾）-（√2/2）
y2=-k[（√2）k＾+4k]/（8+k＾）+2
y2-y1=（16√2）k/（8+k＾）
x2-x1=8k/（8+k＾）
线段AB所在直线斜率K=（y2-y1）/（x2-x1）=2√2
L2方程为： y=（2√2）x+b
（2）
联立： y=（2√2）x+b x＾+y＾/8=1
16x＾+（4√2）bx+b＾-8=0
x1+x2=-（b√2）/4
x1x2=（b＾-8）/16
|AB|＾=（1+K＾）[（x1+x2）＾-4x1x2]
=（9/16）（32-2b＾）
|AB|=（3/4）×√（32-2b＾）
点M到直线L2距离为d=|b|/3
Samb=（1/2）×（|b|/3）×（3/4）×√（32-2b＾）
=（1/8）√[-2b＾4+32b＾]
当b＾=8时， f（b＾）=-2（b＾）＾+32b＾有最大值
[Samb]max=（1/8）×√[-2×8＾+32×8]=√2。
收起
