求助高二数学椭圆已知椭圆c:x^
已知椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=(√3)/2,点p为椭圆c上的任意一点,且点p到椭圆c的两个焦点的距离之和为4,点M的坐标为(1,0)
(1)求椭圆方程
已知椭圆上的点P到椭圆两个焦点的距离之和为4,所以:2a=4
则,a=2
又,已知离心率e=√3/2
即,e=c/a=√3/2
所以,c=√3
所以,b^2=a^2-c^2=4-3=1
所以,椭圆方程为:x^2/4+y^2=1
(2)过点P作直线PQ垂直于x轴,交椭圆C于点Q,直线PM交椭圆C于点N。 试问,当点P在椭圆上运动时,直线QN是否恒经过定点S?若是,请求出点S的坐标,若不是,请说明理由...全部
已知椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=(√3)/2,点p为椭圆c上的任意一点,且点p到椭圆c的两个焦点的距离之和为4,点M的坐标为(1,0)
(1)求椭圆方程
已知椭圆上的点P到椭圆两个焦点的距离之和为4,所以:2a=4
则,a=2
又,已知离心率e=√3/2
即,e=c/a=√3/2
所以,c=√3
所以,b^2=a^2-c^2=4-3=1
所以,椭圆方程为:x^2/4+y^2=1
(2)过点P作直线PQ垂直于x轴,交椭圆C于点Q,直线PM交椭圆C于点N。
试问,当点P在椭圆上运动时,直线QN是否恒经过定点S?若是,请求出点S的坐标,若不是,请说明理由
设过点P和M(1,0)的直线为y=k(x-1)
那么,联立直线与椭圆方程有:x^2+4y^2-4=0,y=k(x-1)
所以,x^2+4[k(x-1)]^2-4=0
===> x^2+4k^2(x-1)^2-4=0
===> x^2+4k^2x^2-8k^2x+4k^2-4=0
===> (4k^2+1)x^2-8k^2x+4(k^2-1)=0
所以,x1+x2=8k^2/(4k^2+1)、x1x2=4(k^2-1)/(4k^2+1)
这里的x1、x2即直线与椭圆两个交点P、N的横坐标值
不妨设点P(x1,y1)、N(x2,y2)
因为PQ⊥x轴,所以PQ关于x轴对称
所以,点Q(x1,-y1)
那么,过点Q、N的直线方程为:(y-y2)/(y2+y1)=(x-x2)/(x2-x1)
那么,它与x轴的交点,即y=0时候就有:
-y2/(y1+y2)=(x-x2)/(x2-x1)
===> (x1-x2)y2/(y1+y2)=x-x2
===> x=[(x1y2-x2y2)/(y1+y2)]+x2
===> x=[x1y2-x2y2+x2y1+x2y2]/(y1+y2)
===> x=(x1y2+x2y1)/(y1+y2)………………………………(1)
而,y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)
所以,x1y2+x2y1=x1*k(x2-1)+x2*k(x1-1)=2kx1x2-k(x1+x2)
=-8k/(4k^2+1)
y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-2k/(4k^2+1)
将其带入(1)式就得到,x=[-8k/(4k^2+1)]/[-2k/(4k^2+1)]=4
所以,当点P在椭圆上运动时,直线QN恒经过定点S(4,0)。
收起