解析几何题

解析几何题已知AC,BD为圆O:x^2+y^2=4的两条互相垂直的玄，AC,BD交于点M（1，√2），则四边形ABCD面积的最大值为？

假设四边形ABCD面积为S，则有 S=1/2*|AC|*|BD| 由于弦AC、BD过点M（1，√2），且AC⊥BD，所以直线AC、BD的方程可假设为： AC：y-√2=k(x-1) BD:y-√2=1/k(x-1) 解以下方程组： y-√2=k(x-1) x^2+y^2=4 可得A、C的坐标，从而求得 |AC|=2√[(3k^2+2√2k+2)/(k^2+1)] 同理，解方程组： y-√2=1/k(x-1) x^2+y^2=4 可得B、D的坐标，从而求得 |BD|=2√[(3+2√2k+2k^2)/(k^2+1)] 因此，有 S=2√[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)/...全部

  假设四边形ABCD面积为S，则有 S=1/2*|AC|*|BD| 由于弦AC、BD过点M（1，√2），且AC⊥BD，所以直线AC、BD的方程可假设为： AC：y-√2=k(x-1) BD:y-√2=1/k(x-1) 解以下方程组： y-√2=k(x-1) x^2+y^2=4 可得A、C的坐标，从而求得 |AC|=2√[(3k^2+2√2k+2)/(k^2+1)] 同理，解方程组： y-√2=1/k(x-1) x^2+y^2=4 可得B、D的坐标，从而求得 |BD|=2√[(3+2√2k+2k^2)/(k^2+1)] 因此，有 S=2√[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)/(k^2+1)^2] 可以证明当k=1时，[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)]/(k^2+1)^2为最大值。
   证明思路是： 令f(k)=[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)]/(k^2+1)^2 =6+[(10√2k^3+9k^2+10√2k)/(k^2+1)^2 f＇(k)=(-10√2k^4-18k^3+18k+10√2)/(k^2+1)^3 当f(k)取极值时，f＇(k)=0。
   f＇(k)=0 =>-10√2k^4-18k^3+18k+10√2=0 =>k=1或k=-1 当k=1时，f(k)取最大值。 因此，四边形ABCD面积的最大值为 S最大=2√[(3+2√2+2)(2+2√2+3)/(1+1)^2] =5+2√2 。
  收起